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Calorimetria – Exercícios

agosto 8, 2010 1 comentário

1) Uma fonte de energia térmica fornece calor com potencia constante. Ela aquece 100g de água, de 20º C até 50°C, em 3,0 min. Para aquecer 250g de um metal, de 25ºC a 40ºC, ela gasta 45s. Sendo o calor especifico da água igual a 1,0 cal/g*°C, o do metal, nas mesmas unidades, vale:

R.:

Em primeiro lugar vamos descobrir a quantidade de calor da água:
Q=mcΔT
Q=100*1*(50-20)
Q=100*30
Q=3000cal
Agora vamos descobrir o fluxo de calor, sabendo que 3min é igual a 180segundos:
φ=Q/Δt
φ=3000/180
Simplificando:
φ=50/3 cal/s
Como a questão diz q a fonte de energia térmica fornece calor com uma potencia constante, então esse fluxo de calor serve também para o metal:
φ=Q/Δt
50/3=Q/45
3Q=2250
Q=2250/3
Q=750cal
Agora que já sabemos a quantidade de calor do metal, podemos calcular o calor específico:
Q=mcΔT
750=250*c*(40 – 25)
750=250*c*15
750=3750c
c=750/3750
c=0,2cal/g * °C

2) Dentro de um calorímetro de capacidade térmica 50 J  ºC-¹ deixa-se cair um sistema de duas massas de 100 g cada uma, ligadas por uma mola de massa desprezível. A altura da qual o sistema é abandonado é de 1,0 m acima do fundo do calorímetro e a energia total de oscilação do sistema é, inicialmente, de 1,5 J. Dada a aceleração da gravidade g = 10 m/s² e sabendo que após um certo tempo as duas massas se encontram em repouso no fundo do calorímetro, pode-se afirmar que a variação da temperatura, no interior do calorímetro, desprezando-se a capacidade térmica do sistema oscilante, é de:

R.:

Para isso, vamos considerar que a quantidade de calor (energia) obtida foi igual a energia inicial. Assim, desprezamos as perdas. Então, havia um sistema com uma energia inicial de 1,5J além da energia potencial gravitacional. Essa energia foi totalmente transformada em energia térmica. Assim, descubramos a energia potencial gravitacional. Como são dois corpos de 100g cada, teremos um corpo com massa total de 200g = 0,2kg. Assim:
Ep = mgh
Ep = 0,2*10*1
Ep = 2J
Assim, a energia total será a potencial gravitacional mais a energia de oscilação do sistema. Assim:
E = 2 + 1,5
E = 3,5J
De acordo com a capacidade térmica:
C = Q / ΔT
50 = Q / ΔT
Q = 50ΔT
Como a energia inicial foi totalmente transformada em energia térmica, tem-se:
Q = 3,5J
Mas Q = 50ΔT. assim:
50ΔT = 3,5
ΔT = 3,5 / 50
ΔT = 0,07°C

3) Num calorímetro de capacidade térmica 8 cal/°C inicialmente a 10°C são
colocados 200 g de um líquido de calor específico 0,40 cal/g°C. Verifica-se que o
equilíbrio térmico se estabelece a 50°C. Determine a temperatura inicial do
líquido.

R.:

Bem, dentro do calorímetro o calor liberado por um será recebido pelo outro. Nesse caso a troca de calor será realizada entre o calorímetro (Qc) e o líquido (Ql). Assim:
Qc + Ql = 0
Sabemos que capacidade térmica é dada por:
C = Q / ΔT
Q = C*ΔT
Então:
Qc = C*ΔT
Qc = C*(Te – To)
O calorímetro estava inicialmente a 10°C e o equilíbrio foi estabelecido em Te = 50°C. Sabendo-se que C = 8 cal/°C, temos:
Qc = 8*(50 – 10)
Qc = 8*40
Qc = 320 cal
Vamos deixar guardado esse dado. Para o líquido só houve variação de temperatura (calor sensível). Assim:
Ql = mcΔT
Ql = mc*(Te – To’)
Como c = 0,4 cal/g*°C, m = 200g e Te = 50°C, temos:
Ql = 200*0,4*(50 – To’)
Ql = 80*(50 – To’)
Ql = 4000 – 80To’
E como já dito:
Qc + Ql = 0
Agora é só substituir os valores descobertos. Então:
320 + 4000 – 80To’ = 0
-80To’ = -4320
80To’ = 4320
To’ = 4320 / 80
To’ = 54 °C
Portanto, o líquido estava inicialmente a 54°C.

4) No interior de um calorímetro de capacidade térmica 6 cal/°C, encontram-se
85 g de um líquido a 18°C. Um bloco de cobre de massa 120 g e calor específico
0,094 cal/g°C, aquecido a 100°C, aquecido a 100°C, é colocado dentro do
calorímetro. O equilíbrio térmico se estabelece a 42°C. Determine o calor
específico do líquido.

R.:

Bem, a soma das trocas de calor será nula pois a quantidade de calor que um libera, outro recebe. Assim:
Qc + Ql + Qf = 0
sendo:
Qc = quantidade de calor do calorímetro
Ql = quantidade de calor do líquido
Qcu = quantidade de calor do bloco de cobre
Para o calorímetro, sabemos que capacidade térmica é dada por:
C = Qc / ΔT
Qc = CΔT
Qc = C*(Te – To)
O calorímetro estava inicialmente em equilíbrio térmico com o líquido. Logo To = 18°C. a temperatura de equilíbrio é Te = 42°C e a capacidade térmica é C = 6cal/°C. Assim:
Qc = 6*(42 – 18)
Qc = 6*24
Qc = 144 cal
Para o líquido só houve variação de temperatura (não foi mencionado mudança de estado físico). Assim, aplicando na quantidade de calor sensível, temos:
Ql = mcΔT
Ql = mc(Te – To)
Sendo m = 85g, Te = 42°C e To = 18°C, temos:
Ql = 85*c*(42 – 18)
Ql = 85*c*24
Ql = 2040c
Agora, para o bloco de ferro, como só temos variação de temperatura, temos:
Qcu = m’ *c’ *ΔT ‘
Qcu = m’ *c’ *(Te – To’)
Sendo m’ = 120g, c’ = 0,094 cal*g*°C, Te = 42°C e To’ = 100°C, temos:
Qcu = 120*0,094*(42 – 100)
Qcu = 11,28*(-58)
Qcu = -654,24 cal
Agora é só aplicar os valores. Então:
Qc + Ql + Qf = 0
144 + 2040c + (-654,24) = 0
2040c – 510,24 = 0
2040c = 510,24
c = 510,24 / 2040
c = 0,25 cal/g*°C (aproximadamente)

5) Calcule a quantidade de calor necessária para transformar um bloco de gelo de massa igual a 100g em água a 0°C sob pressão normal, supondo a temperatura inicial do gelo igual a:
a) 0º C b) -20º C

R.:

a) Em 0°C temos a fusão do gelo que sabemos, realiza-se com temperatura constante (quantidade de calor latente, ou seja, quantidade de calor com mudança de estado físico). Assim:
Q = mL
Sendo o calor latente do gelo L = 80 cal/g, temos:
Q = 100*80
Q = 8000 cal

b) Para o gelo chegar a essa temperatura, a temperatura do gelo precisa variar de -20°C a 0°C (quantidade de calor sensível, ou seja, quantidade de calor com variação da temperatura). Mas em 0°C temos a fusão do gelo que sabemos, realiza-se com temperatura constante (quantidade de calor latente, ou seja, quantidade de calor com mudança de estado físico). Assim:
de -20°C a 0°C
Q1 = m*cg*ΔT
Q1 = m*cg*(T – To)
Sendo m = 100g, o calor específico do gelo cg = 0,55 cal/g*°C, T = 0°C e To = -20°C, temos:
Q1 = 100*0,55*[0 - (-20)]
Q1 = 55*20
Q1 = 1100 cal
Agora em 0°C temos mudança de estado físico e a quantidade de calor é latente dada por:
Q2 = mL
Sendo o calor latente do gelo L = 80 cal/g, temos:
Q2 = 100*80
Q2 = 8000 cal
Logo, a quantidade de calor total para tornar o gelo de -20°C em água a 0°C é Q = Q1 + Q2 e, portanto, Q = 1100 + 8000 = 9100 cal

6) Um corpo de massa 400g está sujeito a uma fonte térmica que fornece 20 cal/s e tem sua temperatura variando de 10 °C para 50 °C em 12 minutos. Determine o calor especifico do corpo.

R.:

O fluxo de calor é φ = 20 cal/s e o corpo de 400g  foi submetido a esse fluxo durante 12 minutos. Sendo que o fluxo de calor é dado por:
φ = Q / Δt
Mas o fluxo está em cal/s e o tempo está em minuto. Assim, por regra de três, temos:
1 min ——————- 60s
12 min —————– x
x = 720s
Assim:
φ = Q / Δt
20 = Q / 720
Q = 14400 cal
Assim, 14400 cal foram fornecidas a esse corpo. Como só variou a temperatura, vamos aplicar na definição de quantidade de calor sensível. Assim:
Q = mcΔT
Mas ΔT = T – To. Sendo T = 50 °C e To = 10 °C, temos que ΔT = 40 °C. Assim:
Q = mcΔT
14400 = 400*c*40
14400 = 16000c
c = 14400 / 16000
c = 0,9 cal/g*°C
Portanto, o calor específico do corpo é 0,9 cal/g*°C.

7) Em um dia muito quente em que a temperatura ambiente é igual a 32 °C, um rapaz pegou um copo com 200 cm³ de água à temperatura ambiente. Para refrescá-la, colocou na água 5 cubos de gelo fundente, cada um com massa 20 g. Admitindo-se que só há troca de calor entre a água e o gelo, e que a pressão local é igual a 1 atm, quando atingir o equilíbrio térmico, no copo haverá:
(Dados: c água= 1 cal/g.°C, L fusão= 80 cal/g e d água= 10³ kg/m³).
(A) somente água a 0 °C.
(B) água a 10 °C.
(C) 210 g de água e 90 g de gelo a 0 °C.
(D) 220 g de água e 80 g de gelo a 0 °C.
(E) 280 g de água e 20 g de gelo a 0 °C.

R.:

Vamos primeiro descobrir a massa de água nesse copo. Sendo V = 200 cm³ = 0,0002 m³ = 0,2*10-³ m³, temos:
d = m / V
10³ = m / 0,2*10-³
m = 0,2 kg
m = 200g
Precisamos saber o quanto de calor que a água pode ceder ao gelo fundente (gelo a 0°C). Assim, para a variação de 32°C a 0°C,  = 200g, c = 1 cal/g*°C, temos:
Qa = mcΔT
Qa = 200*1*(0 – 32)
Qa = 200*(-32)
Qa = -6400 cal
Logo a água cederá 6400 cal para a massa de gelo. Mas precisamos saber se essa quantidade de calor funde toda a massa de gelo. Cada cubo tem 20g e são cinco no total, a massa total de gelo é m = 5*20 = 100g. Assim, usando a quantidade de calor latente (quantidade de calor sem variação de temperatura que fundirá todo o gelo), temos:
Qg = mL
Qg = 100*80
Qg = 8000 cal
Logo, a água não é capaz de fundir todo o gelo. Assim, precisamos saber o quanto de gelo (mf) que 6400 cal fundem. Assim:
Qg = mf*L
6400 = mf*80
mf = 6400 / 80
mf = 80 g
Logo, ao fim desse processo, teremos além das 200g de água, mais 80g de água provenientes do gelo que se fundiu e 20g de gelo. Como enquanto não terminar esse processo de fusão a temperatura não varia, temos que a temperatura é 0°C. Portanto, a alternativa correta é E.

Trabalho e Energia – Exercícios

agosto 8, 2010 Deixe um comentário

1) Uma lâmpada acesa é completamente mergulhada em um vaso contendo 6.000g de água,e,após 5 minutos,a temperatura da água aumenta de 3ºC.Qual a potência na lâmpada?

R.:

Primeiro vamos descobrir a quantidade de calor, que será em caloria, ai nós vamos transformar de caloria para joule, para aí aplicar na fórmula de potência, transformando o tempo em segundos. Sabendo que a variação foi de 3°C, então:
Q=mcΔT
Q=6000*1*3
Q=18000 cal
Agora sabendo que 1cal=4,186J, temos:
1————- 4,186
18000——- x
x= 75,348 J
Vamos descobrir o tempo agora em segundos, sabendo q 1min=60s:
1 ——– 60
5 ——– x
x=300s
Agora sabe-se que a potência é a variação de energia aplicada em um determinado intervalo de tempo, daí a fórmula a seguir ser:
p=ΔE/Δt
p=75348/300
p=251,16 W (watts)

2) Comparada com a energia necessária para acelerar um automóvel de 0 a 60 km/h, quanta energia é necessária para acelerá-lo de 60 km/h a 120 km/h, desprezando a ação do atrito?
a) A mesma
b) O dobro
c) O triplo
d) Quatro vezes mais
e) Oito vezes mais

R.:

A energia total é igual a variação de energia mecânica. Como não há altura, só teremos energia cinética. Logo, a variação de energia mecânica é igual a variação de energia cinética, para esse caso. Assim:
ΔEm = ΔEc
Ora, a variação de energia cinética é a energia cinética final menos a inicial. assim, para a primeira situação, tem-se:
ΔEc1 = Ec – Eco
ΔEc1 = mv²/2 – mvo² / 2
ΔEc1 = m*60²/2 – m*0² / 2
ΔEc1 = 3600m / 2
ΔEc1 = 1800m
Para a segunda situação, tem-se:
ΔEc2 = Ec – Eco
ΔEc2 = mv² / 2 – mvo² / 2
ΔEc2 = m*120² / 2 – m*60² / 2
ΔEc2 = 14400m / 2 – 3600m / 2
ΔEc2 = 7200m – 1800m
ΔEc2 = 5400m
Ora, 5400m = 3*1800m. Assim:
ΔEc2 = 3*1800m
como ΔEc1 = 1800m, tem-se:
ΔEc2 = 3*ΔEc1
Alternativa C.

3) Um bloco de massa m = 0,20 kg desliza sobre um plano horizontal sem atrito com velocidade de 4,0 m/s. Ele atinge e atravessa, em linha reta, um trecho de 1,2 m de comprimento onde existe atrito. Logo após a travessia, a velocidade do bloco é de 2,0 m/s.
Determine: o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a região do plano onde existe atrito. (Admita g = 10 m/s².)

R.:

Como há atrito, a variação de energia cinética entre dois pontos, revelará o quanto de energia foi dissipada. Logo trabalho, da força de atrito, é igual a variação de energia cinética. Assim:
|W| = ΔEc
Em módulo pois queremos só o valor absoluto, ao invés de valores negativos. Assim:
Fat*d = ΔEc
Como Fat = μN, tem-se:
μNd = ΔEc (N = P = 0,2*10 = 2N – horizontal, sem inclinação)
μNd = mv1²/2 – mv2² / 2
μ*2*1,2 = 0,2*4² / 2 – 0,2*2² / 2
2,4μ = 1,6 – 0,4
2,4μ = 1,2
μ = 1,2 / 2,4
μ = 0,5

4) Num cilindro, o vapor entra sob pressão constante de 50N/m², empurrando o pistão, cuja área é de 100cm², num percurso de 50cm. Qual o trabalho realizado pelo vapor nesse percurso?

R.:

Bem, primeiro precisamos descobrir a força. assim, como temos a pressão e a área, podemos fazê-lo. Mas primeiro vamos transformar a área para m², a fim das unidades coincidirem. Como é uma unidade ao quadrado, para passarmos uma unidade, precisamos andar duas casas. Assim, como precisamos passar de cm² para m² vamos andar quatro casas pois passaremos por duas unidades. Assim:
100cm² = 0,01m²
Então:
p = F / A
50 = F / 0,01
F = 0,5 N
Agora é só aplicar na definição de trabalho (ζ). Como a força e o deslocamento tiveram uma mesma linha de ação (direção), o ângulo será de 0°, tendo um cosseno igual a um. Assim:
ζ = F*d*cos
ζ = 0,5*0,5*1 (50cm = 0,5m)
ζ = 0,25 J

5) Uma caixa cuja velocidade é de 10m/s leva 2 s deslizando sobre uma superfície até parar completamente. Considerando a aceleração da gravidade g=10m/s², determine o coeficiente de atrito cinético que atua entre a superficie e a caixa.

R.:

Bem, de acordo com o teorema da energia cinética:
-ζ = ΔEc
Como é o trabalho da força de atrito é negativo. Assim:
-ζ = Ec – Eco
-ζ = mv²/2 – mvo² / 2
Ao final do trajeto a velocidade é nula, ou seja, v = 0. Assim:
-ζ = m0²/2 – mvo² / 2
-ζ = – mvo² / 2 *(-1)
ζ = mvo² / 2
O trabalho é da força de atrito que é dado por:
ζ = Fat*d
ζ = μNd
Como o corpo está na horizontal, N = P = mg. Assim:
ζ = μmgd
Assim:
μmgd = mvo² / 2
Cortando-se massa com massa:
μgd = vo² / 2
Mas para isso precisamos da distância. Assim, aplicando a velocidade e o tempo na função horária da velocidade para descobrir a aceleração, tem-se:
v = vo + at
0 = 10 + a*2
2a = -10
a = -5m/s²
Para descobrir a distância apliquemos na função horária do espaço. Então:
s = so + vo*t + at² / 2
s = 0 + 10*2 +(-5)*2² / 2
s = 20 -20 / 2
s = 20 – 10
s = 10 m
Assim:
μgd = vo² / 2
μ*10*10 = 10² / 2
100μ = 100 / 2
100μ = 50
μ = 50 / 100
μ = 0,5

Portanto, o coeficiente de atrito cinético é 0,5.

6) Um bloco de pequenas dimensões e massa 5 Kg é lançado do ponto A (topo do trilho inclinado) de um trilho reto e inclinado, com uma velocidade de 2 m/s. A única oposição ao movimento do bloco é a de atrito cinético que tem um valor igual a 0,6. Nessas condições, supondo g=10m/s², o bloco atingirá o ponto B (base do trilho inclinado) com qual velocidade ? (Dados: base: 4m; altura: 3m)

R.:

Temos que b é a base desse plano inclinado e h é a altura desse plano inclinado. Sabe-se que o trabalho(W) da força de atrito é a diferença entre a energia mecânica final e a inicial pois essa essa diferença foi a energia dissipada na forma de atrito. Assim:
-W = Emf – Emi
Ora no ponto que a altura é nula, no plano, o corpo só possui energia cinética (Ec = mv²/2), mas no ponto de altura máxima ele possui, além de energia potencial (Ep = mgh), energia cinética, nesse caso, pois a velocidade que ele partiu foi de 2m/s. Então:
-Fat * d = mv²/2 – (mv²/2 + mgh)
Sabe-se que a normal em um plano inclinado é igual ao peso na vertical (Py). E este é dado por Py = N = cosx*P´. Para sabermos o cosseno precisamos descobrir a hipotenusa. Então, aplicando no teorema de pitágoras, temos que a hipotenusa é igual a 5 (note que a hipotenusa é a distância d) e o cosseno é dado por:

cosx = b / d

cosx = 4 / 5

Então:
N = cosx*P
N = cosx*m*g
N = (4/5)*5*10
N = (4/5)*50
N = 40 N
Sabe-se que:
Fat = -μ*N
Então:
-Fat * d = mv²/2 – (mv²/2 + mgh)
-μ*N*d = mv²/2 – (mv²/2 + mgh)
-(0,6*40*5) = 5v²/2 – (5*2²/2 + 5*10*3)
-120 = 5v²/2 – (10 + 150)
-120 = 5v²/2 – 160
5v²/2 = 40
Fazendo-se meios pelos extremos:
5v² = 80
v² = 80 / 5
v² = 16
v = √16
v =4 m/s
obs.:
*O trabalho da força de atrito é negativo pois o atrito é uma força que se opõe ao movimento.

7) Um carrinho de montanha russa parte do ponto A, onde possuia velocidade inicial nula, a uma altura h e realiza um “loop” de raio R. Considerando que o carrinho realiza todo o percurso sem sofrer influência de forças de atrito, qual deve ser a altura h mínima, em função de R, tal que isso seja possível?

R.:

Um erro muito comum que se comete é achar que a altura é igual a 2R pois igualam a energia inicial, Eo, (potencial gravitacional inicial – Epo) a energia final, E, e acham que esta é somente a energia potencial (final – Ep) equivalente ao dobro do raio. Mas note que o carrinho só faz um loop se tiver velocidade, afinal eu nunca soube de um carrinho de montanha russa que fez um loop sem velocidade. Logo, a energia final, além da energia potencial gravitacional com valor de uma altura igual ao dobro do raio, tem-se também uma energia cinética (Ec) com uma velocidade desconhecida. Assim, temos que:

Eo =E

Epo = Ep + Ec

mgh = mg(2R) + mv² / 2   (I)

Para saber essa velocidade mínima no ponto mais alto do loop, vamos fazer a resultante das forças (no ponto mais alto do loop). Nós temos a força peso para baixo (P) e além dela temos a força normal (N) também para baixo. Assim, como o carrinho realiza movimento circular, a resultante dessas forças é centrípeta (Rc). Assim:

Rc = P + N

A velocidade será mínima quando a força normal for nula. Assim, sendo Rc = mv² / R, temos:

Rc = P + 0

mv² / R = mg

v² = Rmg / m

v² = Rg

Assim, aplicando na equação (I), temos:

mgh = mg(2R) + mv² / 2

mgh = 2mgR + mRg / 2

cortando-se todas massas m e acelerações da gravidade g, temos:

h = 2R + R/2

h = (4R + R) / 2

h = 5R / 2

Logo, a altura mínima é 2,5R. Note que a altura fica acima da altura do loop, que é 2R.

8 ) Um garoto escorrega do topo de uma estrutura semi-circular de gelo com raio R. Qual é a altura que o garoto perde o contato com a estrutura.

R.:

A primeira coisa a se perguntar nessa questão é o que ocorre quando ele perde o contato com o gelo, fisicamente falando. Quando se diz que “ele perde contato”, percebe-se que a força normal é nula. Então temos que descobrir o que ocorre quando a força normal é nula. Assim, chamemos de A o ponto em que o garoto estava no começo e B o ponto em que a normal, N, é nula. Seja O a origem. Assim, pela figura, note que o ângulo formado pelos segmentos OA e OB é o ângulo em que o garoto perde contato com a superfície. Traçando uma reta horizontal do ponto B até o ponto B’ (intersecção dessa reta com a semi-reta OA), temos que OB’ é h, a altura em que isso ocorre. e pelo cosseno, temos:
cos x = h/R
h = Rcos x
Agora, fazendo a resultante de forças, temos que nesse ponto B só há a força peso. Decompondo esta em componentes radial (Pr) e tangencial (Pt), temos que o triângulo formado por essas componentes é semelhante ao triângulo OB’B e o peso se assemelha ao segmento OB’ e a componente radial se assemelha a OB (só note que esse triângulo está invertido). Assim, pelo cosseno (o ângulo é o mesmo pois temos os mesmos segmentos formando um mesmo ângulo), temos:
cos x = Pr/P
Pr = mgcos x
A resultante centrípeta nesse ponto é Pr. Assim:
Rc = Pr
mv²/R = mgcos x
v² = Rgcos x
Agora, pela conservação da energia, temos que Ea = mgR (onde R, o raio, é a altura desse ponto) e Eb = Ec + Ep = mv²/2 + mgh. Assim, a energia se conserva e temos:
Ea = Eb
mgR = mv²/2 + mgh
gR = v²/2 + gh
v²/2 = g(R – h)
v² = 2g(R – h)
Como v² = Rgcos x e h = Rcos x, ou seja, cos x = h/R, temos, portanto:
Rgcos x = 2gR – 2gh
Rg(h/R) = 2gR – 2gh
gh = 2gR – 2gh
3gh = 2gR
3h = 2R
h = (2/3)R

Gravitação Universal – Exercícios

agosto 8, 2010 2 comentários

1) Supondo a terra esférica, homogênea e sem rotação, calcule a aceleração da gravidade a uma altitude h = 1600km. São dados Massa da terra = 6.10^24kg, raio da terra = 6400km
G = 6,7.10-¹¹

R.:

Bem, para isso precisamos saber que d=r+h, então se a altura for nula logicamente teremos a aceleração na superfície terrestre. Como não é o caso vamos descobrir a aceleração da gravidade de um ponto 1600km acima da superfície. Então temos:
d=r+h
d=6400+1600
d=8000km
d=8000000 m (unidade do SI – sistema internacional de medidas)
Agora basta aplicar na fórmula da gravidade:
g=Gm/d²
g=6,7.10^ -11 * 6.10^24 /(8*10^6)²
g=40,2*10¹³/64*10¹²
g=402*10¹²/64*10¹²
g=6,28 m/s²

2) Na viajem de uma nave espacial da Terra para a Lua, ela é atraída pelos dois astros. Supondo a massa da Terra 81 vezes maior do que a da Lua, a que distância do centro da Terra a nave, entre a Terra e a Lua, será igualmente atraída pelos dois astros? (Dado: distância do centro da Terra ao centro da lua = r)

R.:

Para isso temos duas forças: a força entre a nave e a Terra e a entre a nave e a Lua. Como a massa da Terra (mt) é igual a 81 vezes a massa da Lua(ml), e essas forças estarão em equilíbrio pois a nave será igualmente atraída, tem-se:
F terra/nave = F lua/nave
como a distância do centro da Terra ao centro da lua = r, vamos adotar a distância da terra a nave como “d” (distância que se quer descobrir) e a distância entre a nave e a lua como “r – d”. Assim:
G*mt * m’ / d² = Gml*m’ / (r-d)²
Como mt = 81ml, tem-se:
G*81ml * m’ / d² = Gml*m’ / (r-d)²
Cortando-se G com G, ml com ml e m’ com m’, tem-se:
81 / d² = 1 / (r – d)²
Rearranjando os termos:
d² / (r – d)² = 81
(d / r – d)² = 81
d / r – d = √81
d / r – d = 9
Meios pelos extremos:
d = 9r – 9d
9r = 10d
d = 9r / 10

3) Qual o valor da aceleração da gravidade do Sol se o seu raio é 110 vezes maior que o da Terra e sua densidade média é 1/4 da densidade média da Terra? A aceleração da gravidade é na superficie da Terra é de 9,8 m/s².
Volume da esfera: 4πR³ / 3

R.:

Sabemos que a aceleração da gravidade é dada por:
g = Gm / r²
Sendo m a massa do planeta e r² o raio do planeta. Para a Terra sabemos que:
9,8 = Gm / r²
G = 9,8r² / m
Assim, já temos o valor de G. agora, para o sol, precisamos descobrir a relação entre a massa do sol e a da terra. Lembrando que vou adotar os dados com ( ‘ ) como sendo sobre o sol e sem como sendo sobre a terra. Foi dito na questão que a densidade d’ do sol é 1/4 da da terra, ou seja:
d’ = d(1/4)
d’ = d/4
Ora, mas d = m / V. então:
m’ / V’ = m / 4V
Tomando tanto a terra quanto o sol como esferas, temos para o volume:
m’ / (4πR³/3) = m / 4(4π*r³/3)
Em divisão de fração, repete-se a primeira e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim:
3m’ / 4πR³ = 3m / 16π*r³
Cortando-se 3 com 3, temos:
m’ / 4πR³ = m / 16π*r³
m’ = 4πR³ * m / 16π*r³
m’ = mR³ / 4r³
Mas foi dito que R = 110r. Assim:
m’ = m(110r)³ / 4r³
m’ = 1331000mr³ / 4r³
Cortando-se r³ com r³ e efetuando a divisão por 4, temos:
m’ = 332750m
Assim, aplicando na definição de aceleração da gravidade, temos:
g’ = Gm’ / R³
Sendo G = (9,8r² / m), m’ = 332750m e R = 110r, temos:
g’ = (9,8r² / m) * 332750m / (110r)²
g’ = (9,8r² * 332750m / m * 12100r²)
Cortando-se r² com r² e m com m, temos:
g’ = 9,8* 332750 / 12100
g’ = 3260950 / 12100
g’ = 269,5 m/s²

Ondulatória – Exercícios

agosto 8, 2010 Deixe um comentário

1) O ponto O, centro da trajetória, é tomado como origem das elongações. Sabendo-se que em t inicial = 0 a partícula passava por O no sentido O para A e que uma oscilação completa realiza-se em 2,0 s, pede-se obter:
a) a função horária x=f(t)
b) a função horária da velocidade escalar
c) a função horária da aceleração escalar
d) o módulo da aceleração escalar no ponto de elongação x = 1,0m
DADOS: do ponto O ao ponto A'(amplitude) dista de 2,0m e do ponto O ao ponto A(amplitude) dista 2,0 m.

R.:

a) Pede-se a função horária da elongação(x), que é o ponto oscilante, em função do tempo. Sabemos que:
x=Acos(θo + ωt)
Mas sabemos que do movimento circular uniforme:
ω=2π/T
ω=2π/2
ω=π rad/s
Então, aplicando na fórmula, tem-se, sabendo que a amplitude é 2m:
x=2cos( 0 + π*t)
x=2cos(π*t)

b) Aplicando a fórmula da velocidade escalar, temos:
v= -ωAsen(θo+ωt)
v= -2πsen(0+π*t)
v= -2πsen(π*t)

c) Aplicando a fórmula da aceleração escalar, tem-se:
a= -ω²Acos(θo + ωt)
a= -2π²cos(π*t)

d) Agora nós vamos usar a fórmula da aceleração com a elongação, para descobrirmos o módulo, pois não daria certo com a fórmula da letra C pois não temos dados suficientes. Portanto:
a= -ω²x
a= -π² *1
a= -π² rad/s²

2) Para determinar a profundidade de um poço de petróleo,um cientista emitiu com uma fonte,na abertura do poço.ondas sonoras de frequência 220 Hz.Sabendo-se que o comprimento de onda,durante o percurso,é de 1,5m e que o cientista recebe como resposta um eco após 8 s, a profundidade do poço é:
a) 2640m
b) 1440m
c) 2880m
d) 1320m
e) 330m

R.:

Vamos primeiro descobrir a velocidade dessa onda aplicando na equação fundamental da ondulatória. Assim:
v = λf
v = 1,5*220
v = 330 m/s
Quando se recebe um eco a distância que essa onda percorreu foi 2d pois ela foi e percorreu d e voltou e percorreu d novamente. Assim, a distância final é 2d. Como a velocidade da onda é constante, nesse caso igual a 330 m/s, tem-se:
v = 2d / Δt
330 = 2d / 8
2d = 2640
d = 2640 / 2
d = 1320m
Portanto, alternativa D.

3) Um fio metálico de 2m de comprimento e 10g de massa é tracionado mediante uma força de 200N. A velocidade de propagação de um pulso transversal nesse fio é de:
a) 200 m/s
b) 100 m/s
c) 50 m/s
d) n.d.a

R.:

Bem, basta aplicarmos na fórmula de velocidade para uma onda. Para que a velocidade resulte em m/s, temos que transformar todas as unidades para o SI. Como a unidade de tração e comprimento estão no SI só precisamos passar a massa de g para kg. assim:
10g = 0,01 kg = 1*10-² kg
De acordo com a fórmula de velocidade:
v = √(T / μ)
Sendo μ a densidade linear da corda, dada por:
μ = m / L
μ = 1*10-² / 2
μ = 0,5*10-²
μ = 5*10-³ kg/m
Assim:
v = √(T / μ)
v = √(200 / 5*10-³)
v = √40*10³
v = √4*10^4 (4*104 = quatro vezes dez elevado a quatro)
v = 2*10²
v = 200 m/s
Portanto, alternativa A é a correta.

4) Entre as extremidades fixas de uma corda com 6,0m de comprimento, formam-se cinco nodos, quando nela se propaga um movimento vibratório de 180 Hz.
A velocidade de propagação deste movimento é:
a) 216 m/s
b) 360 m/s
c) 450 m/s
d) 540 m/s

R.:

Precisamos primeiro descobrir o comprimento de onda dessa onda na corda e aplicarmos na equação fundamental da ondulatória. para saber o comprimento de onda basta aplicar nessa fórmula:
L = nλ/2
O raciocínio é simples: se a corda tiver um fuso (n = 1) a corda terá comprimento equivalente a metade do comprimento de onda. e assim por diante. Mas a questão diz que são cinco nós ou nodos. Assim para saber o número de fusos basta sabermos que o número de fusos é o número de nodos menos um. Então como são cinco nodos temos quatro fusos e 6m de comprimento. Assim:
L = nλ/2
6 = 4λ/2
Meios pelos extremos:
4λ = 12
λ = 12 / 4
λ = 3m
Assim, aplicando na equação fundamental da ondulatória, tem-se:
v = λf
v = 3*180
v = 540 m/s
Portanto a alternativa correta é a letra D.

5) Sob uma corda tensa de extremidades fixas, estabelece-se uma onda estacionaria de freqüência 24Hz . Sabendo que a freqüência do harmônico imediatamente superior é de 30Hz, calcule a freqüência da onda estacionária quando essa corda vibra de maneira fundamental.

R.:

A frequência de uma corda fixa e tensa em suas extremidades é:
f = vn / 2L
A frequência fundamental (f ‘) é aquela que o valor de fusos é igual a 1, ou seja, n = 1, e assim:
f ‘ = v / 2L
Para um valor n de fusos, a frequência é 24 Hz. Assim:
24 = vn / 2L
Vamos deixar guardada essa fórmula. Para o harmônico imediatamente superior temos o número de fusos igual a n +1. E nesse caso a frequêcia é 30 Hz. Assim:
f = v(n+1) / 2L
30 = (vn + v*1) / 2L
30 = (vn / 2L) + (v / 2L)
Ora, vn / 2L = 24 e v / 2L = f ‘. Assim:
30 = 24 + f ‘
f ‘ = 30 – 24
f ‘ = 6 Hz
Portanto, a frequência fundamental é 6 Hz.

6) Duas cordas de mesma espessura foram construídas com um mesmo material; uma com comprimento L1 = 60cm e a outra com comprimento L2 = 40cm. A primeira é submetida a uma tração T1 = 40N e a segunda, a uma tração T2 = 90N. Quando postas em oscilação, verifica-se que a de comprimento L1 tem freqüência fundamental de 36Hz. A partir desses dados, determine em Hz, para a corda L2, sua freqüência fundamental.
a) 54Hz
b) 81Hz
c) 108Hz
d) 135Hz
e) 162Hz

R.:

A velocidade de oscilação pode ser dada por:
v = √(T / μ)
Sendo μ a densidade linear e T a tração na corda. Como as cordas são tensionadas, temos que essa corda essas cordas estão tensionadas nos extremos. Com isso teremos a formação de uma onda estacionária. E logo, o comprimento de onda dessa corda será o dobro do comprimento da corda pelo número de fusos (n). Assim:
λ = 2L / n
E da equação fundamental da ondulatória, v = λf. Assim:
v = (2L/n)*f
v = 2Lf / n
Assim, igualando as duas expressões, temos:
2Lf / n = √(T/μ)
A frequência fundamental é aquela que tem o número de fusos igual a 1 (n = 1). Assim:
2Lf = √(T/μ)
T / μ = (2Lf)²
μ = T / (2Lf)²
Foi dito que as cordas são constituídas do mesmo material, ou seja a razão da massa pelo comprimento (μ) é a mesma para ambas as cordas. Assim, vamos igualar as densidades lineares das cordas 1 e 2. Então:
μ1 = μ2
T1 / (2L1*f1)² = T2 / (2L2*f2)²
Agora é só aplicar os dados. Sendo T1 = 40 N, L1 = 0,6m, f1 = 36 Hz, T2 = 90 N e L2 = 0,4m, temos:
40 / (2*0,6*36)² = 90 / (2*0,4*f2)²
40 / (43,2)² = 90 / (0,8*f2)²
40 / 1866,24 = 90 / 0,64(f2)²
Meios pelos extremos:
25,6(f2)² = 167961,6
(f2)² = 167961,6 / 25,6
(f2)² = 6561
f2 = √6561
f2 = 81 Hz
Portanto, a alternativa correta é B.

Mecânica dos Fluídos – Exercícios

agosto 8, 2010 Deixe um comentário

1) A pressão média com que o coração bombeia o sangue para a aorta é de 100mmHg. Qual é a força média exercida pelo coração sobre o sangue que está entrando na aorta, se a secção desta for de 3cm²?

R.:

Basta aplicarmos na definição de pressão:
p = F / A
A maior dificuldade dessa questão é a transformação de unidade. Vamos começar transformando a pressão de mmHg para Pascal (Pa = N/m²). Assim:
1atm —————— 1*10^5 Pa (10^5 = elevado a 5)
se 1atm = 760 mmHg, temos:
760mmHg —————– 1*10^5 Pa
100mmHg —————- x
760x = 100*10^5
x = 100*10^5 / 760
x = (5/38)*10^5 Pa
Agora vamos transformar a área de cm² para m². Veja o esquema das unidades:
m___dm_____cm_____mm
Para passar de cm para m nós voltamos duas casas. Por exemplo: 100cm = 1m. Agora vejamos o esquema de unidades ao quadrado:
m²___dm²_____cm²_____mm²
Dessa vez, para a passagem de cada unidade nós vamos deslocar duas casas (ou p/ direita ou esquerda, dependo da transformação). Exemplo: 1000cm² = 10dm². e para metro: 1000cm² = 0,1m². Assim, 3cm² = 0,0003m² = 3*10^-4 m². Assim, aplicando na definição de pressão, temos:
p = F / A
F = p*A
F = (5/38)*10^5 * 3*10^-4
F = (15/38)*10¹
F = 150 / 38
F = 3,95 N (aproximadamente)

2) Um cubo de gelo tem aresta 10 cm e flutua em água, com 1 cm dele estendendo-se acima da superfície Se você raspasse a parte superior de 1 cm, quanto do cubo de gelo ficaria acima da água?

R.:

Primeiro vamos descobrir a fração submersa desse cubo para em seguida sabermos o quanto fica acima da água. Quando a questão fala que o cubo tem 10cm de aresta, significa que a largura(l), comprimento(c) e altura(h) são iguais a 10cm. Assim:
V = l*c*h
V = 10*10*10
V = 1000 cm³
O que se estende fora da água é só a altura de 1 cm, mas o comprimento e largura são os mesmos. Assim:
V’ = 10*10*1
V’ = 100 cm³
Como queremos o volume imerso (Vi) para saber a fração submersa (fs) é só fazermos uma subtração do volume total (V) com o volume fora da água. Assim:
V” = 1000 – 100
V” = 900 cm³
Assim:
fs = Vi / V
fs = 900 / 1000
fs = 0,9
Ao rasparmos 1cm de altura (não de comprimento nem largura) teremos um novo volume total. E assim descobriremos o novo volume fora da água. Logo:
V = l*c*h
V = 10*10*9
V = 900 cm³
Aplicando na definição de fração submersa, tem-se:
fs = Vi / V
0,9 = Vi / 900
Vi = 810 cm³
Mas esse é o volume imerso e não o que está fora da água. Assim é só fazermos a subtração do total com o imerso. Logo:
V” = 900 – 810
V” = 90 cm³
Como V = l*c*h, tem-se:
V” = l*c*h
90 = 10*10*h
90 = 100h
h = 90 / 100
h = 0,9 cm.

3) Na figura, a polia pode girar livremente em torno de seu eixo e sustenta um fio inextensível em cujas extremidades estão suspensos um bloco A de massa 1,00kg e um balde contendo 2,00L de água cuja massa específica é 1,00g/cm³. A altura atingida pela água no balde é 20,0cm. O peso do balde e do fio são desprezíveis. A aceleração da gravidade no local é 10m/s². Durante a descida do balde, a pressão hidrostática exercida pela água no fundo deste é:
a) 1,33 x 10³N/m²
b) 1,00 x 10³N/m²
c) 2,00 x 10³N/m²
d) 2,67 x 10³N/m²
e) nula

R.:

Bem, primeiro precisamos descobrir a massa da água no balde. Assim, sendo 1g/cm³ = 1000kg/m³ = 1*10³ kg/m³, transformemos de litro para m³. Assim:
1L ———— 1*10-³ m³
2L ————- x
x = 2*10-³ m³
então:
d = m / V
1*10³ = m / 2*10-³
m = 2 kg
Agora vamos descobrir a aceleração desse sistema, consequentemente a mesma da água no balde, pois tal aceleração influi na pressão hidrostática. Como a massa da água com balde é maior que a do corpo A, o peso do balde-água será maior que a tração no fio. Assim:
Pb – T = ma*a
T – Pa = ma*a
Somando as equações, cancelamos as trações:
Pb – Pa = ma*a + mb*a
mb*g – ma*g = (ma + mb)*a
2*10 – 1*10 = (1 + 2)*a
20 – 10 = 3a
3a = 10
a = 10 / 3
a = 3,33 m/s² (aproximadamente)
O comportamento da água no balde é o mesmo de uma pessoa dentro de um elevador. Imaginando balde um elevador, ele está em movimento descendente e acelerado. Sendo assim, o peso é maior que a normal, dada por:
N = m(g – a)
A aceleração resultante será a subtração da aceleração da gravidade pela aceleração do corpo. Assim:
a’ = g – a
a’ = 10 – 3,33
a’ = 6,67 m/s²
De acordo com a pressão hidrostática, tem-se:
ph = μgh
Só que como o corpo está acelerado e descendo, a aceleração não será g, mas a’. Assim:
ph = μa’h
ph = 1*10³*6,67*0,2 (20cm = 0,2m)
ph = 1,334*10³ N/m²
Portanto, alternativa A.

4) Misturam-se massas iguais de dois líquidos de densidades d1=0.4 g/cm³ e d2= 0,6g/cm³. Determine a densidade da mistura, supostamente homogênea.

R.:

Bem, a questão disse que as massas são iguais. Assim, eu vou me utilizar desse fator para em um determinado instante cortar todas as massas dessa equação e ficar somente com a densidade dessa mistura. Assim, como eu sei que não há relação entre os volume, pois nada foi citado, teremos:
V = V1 + V2
Sabe-se que densidade é dada por:
d = m / V
V = m / d
Ora, a questão me diz que as massas desses líquidos são iguais. Então a soma da massa de m1=m com a de m2=m dará igual a m1 + m2 = 2m. Assim:
2m / d = (m / d1) + (m / d2)
2m / d = (m / 0,4) + (m / 0,6)
Cortando-se todas as massas, pois a massa está presente em todos os termos dessa equação, temos:
2 / d = (1 / 0,4) + (1 / 0,6)
Fazendo-se o mmc de d, 0,4 e 0,6, temos:
(0,48 = 0,6d + 0,4d) / 0,4*0,6*d
Cortando-se o denominador:
0,6d + 0,4d = 0,48
1d = 0,48
d = 0,48 g/cm³

Eletromagnetismo – Exercícios

agosto 8, 2010 Deixe um comentário

1) Determine o valor máximo e mínimo da força magnética que age sobre o elétron. Dados: |v| = 10T, |B| = 1T.

R.:

O valor máximo e mínimo está relacionado ao valor do seno do ângulo entre v e B. assim, o máximo valor do seno é um (90°) e o mínimo é -1(270°). Logo, para o valor máximo, sabendo que a carga do elétron é dada por 1,6*10-19 C = 16*10²º C, tem-se:

F = |q|*B*v*sen90
F = 16*10-²º * 1 * 107 * 1
F = 16*10-¹³ N
Para o valor mínimo, tem-se:
F = |q|*B*v*sen270
F = 16*10²º * 1 * 107 * (-1)
F = -16*10-¹³ N
Isso significa que as forças quando se colocam os valores máximo e mínimo para o seno tem seu sentido alterado (sinal, valor algébrico), mas mantido seu valor absoluto(16*10-¹³ N).

2) Duas Bobinas (1) e (2), cada uma com 100 espiras e cujos comprimentos são L1= 20 cm e L2= 40 cm, são ligadas em série aos polos de uma bateria.
a) O campo magnético B1, no interior da bobina (1), é maior, menor ou igual ao campo magnético B2 no interior da bobina (2)? Por que?
b) Sabendo que B1=6,0×10-3 T, qual o valor de B2

R.:

a) Como as bobinas estão associadas em série, a corrente será a mesma que vai passar pelas duas bobinas, que é o que pode variar o campo magnético. Mas como está em série, a corrente será a mesma para ambos. Assim, para B1, tem-se:
B1 = (μi / L1)*n
Sabe-se que L1 = 20cm = 0,2m = 2*10-¹m e n = 100 = 10². Assim:
B1 = (μi / 2*10-¹)*10²
Agora, para B2, tem-se:
B2 = (μi / L2)*n
Sabe-se que L2 = 40cm = 0,4m = 4*10-¹ e n = 100 = 10². Assim:
B2 = (μi / 4*10-¹)*10²
B2 = (μi / 2*10-¹)*10²*(1 / 2)
Como B1 = (μi / 2*10-¹)*10², tem-se:
B2 = B1*(1 / 2)
B2 = B1 / 2
B1 = 2B2
Assim, B1 = 2B2 > B2 pois B1 é o dobro de B2. Então, B1 é maior que o campo magnético em B2. Isso ocorre pelo fato do comprimento da bobina um ser menor que o de dois, em relação ao número constante de espiras, da corrente e da constante, pois o comprimento é inversamente proporcional ao campo, ou seja, se um aumenta o outro diminui.
b) Basta aplicarmos na relação que acabamos de descobrir. Assim:
B1 = 2B2
6*10-³ = 2B2
B2 = 6*10-³ / 2
B2 = 3*10-³ T

3) A figura abaixo mostra um corte de dois fios longos, paralelos e perpendiculares ao plano XY, cada um percorrido por uma corrente I, mas em sentidos opostos. Deduza a expressão para o módulo de B em qualquer ponto no eixo dos X, em termos da coordenada x do ponto. Em que valor de x B é máximo?

R.:

Olhando para a figura (clique nela para ampliar a imagem), vemos que a corrente [; \bigotimes ;] está entrando no plano (a esta chamaremos 1) e a corrente [; \bigodot ;] está saindo do plano (a esta chamaremos de 2). Assim, pela regra da mão direita, podemos ver que para [; \bigodot ;] o campo magnético está girando no sentido anti-horário (aponte o dedão da sua mão direita para você e dobre sua munheca ou punho) e que o campo [; \bigotimes ;] está girando no sentido horário. Note também que o ponto P está a uma mesma distância vetorial em módulo dos fios, isto é, o módulo da distância em X (x) e o da distância em Y ([; a;]). Assim, podemos ver que as componentes retangulares, em termos de X e Y, serão simétricas. Assim, pela figura vemos que

B1 = Bxi +(-By)j

B2 = Bxi +Byj

onde ij são os vetores unitários nas direções X e Y. Assim, o vetor resultante é a soma vetorial (vetorial!) desses dois vetores. Assim:

B = B1 + B2 = 2Bxi

Assim, basta descobrirmos que é a componentes Bx.  Mas pela figura, vemos que:

Bx = Bsenθ

Pela figura vemos que senθ = a/r. A expressão para B é a de um fio longo e retilíneo, isto é, em módulo:

B =μoI/2πr

onde r é a distância do fio ao ponto. Assim:

Bx = Bsenθ = (μoI/2πr)(a/r) = (μoIa/2πr²)

Assim:

B = 2Bxi = 2(μoIa/2πr²)i = (μoIa/πr²)i

O módulo de B é naturalmente o somatório do quadrado de cada coordenada. Obviamente, como só há a coordenada correspondente a X, o módulo será |B| = B = (μoIa/πr²). Como r² = a² + x², e temos 1/r², o valor máximo do campo será o valor mínimo de r e, como a é constante, o valor mínimo é de x², que é, claro, x = 0 (note que o valor mínimo é de x², que é uma parábola, com mínimo em x = 0). Logo, o módulo do valor mínimo é |B| = B = (μoI/πa).

4) Um fio longo e horizontal de cobre tem uma corrente de i = 28 A passando por ele. Qual é a magnitude e a direção do mínimo campo magnético B necessário para suspender o fio, isto é, para igualar seu peso? Sua densidade linear é 46.6 g/m.

R.:

A figura ao lado mostra a situação, com o fio se estendendo desde dentro do plano para fora, e o sentido da corrente, como mostrado, é saindo do plano. Pela regra da mão direita vemos que se colocarmos o dedão apontando para cima (a força magnética) e apontarmos os quatro dedos na direção do rosto e em seguida fechá-los (indo em direção ao vetor campo magnético) conseguimos entender o porque da força estar para cima. Assim, a força magnética estará em oposição ao peso. Queremos descobrir o campo magnético. Assim, como as forças estão na mesma direção, a sua soma vetorial será equivalente a sua soma em módulo. A força peso é negativa, pois está para baixo e a força magnética para cima (o sentido positivo adotado foi para cima). Assim, como essas forças vão se equilibrar (queremos saber o campo magnético para igualar o peso), a resultante é nula e assim:

Fmag + P = 0

iLBsenθ – mg = 0

iLBsenθ = mg

B = mg/iLsenθ

Ora, todos os valores dados são constantes, menos o seno. Ora, o campo será mínimo quando o seno for máximo (pois temos 1/senθ), ou seja, quando θ = 90° e assim, senθ = 1. Então:

B = mg/iL

B = (m/L)(g/i)

Ora, a densidade linear, massa por unidade de comprimento (m/L) do cobre é μ = 46.6 g/m = 46.6*10-³ kg/m e sendo g = 9.8 m/s² e i = 28 A, então o campo mínimo será:

B = 46.6*10-³*(9.8/28) = 1.6*10-² T

Termodinâmica – Exercícios

agosto 8, 2010 Deixe um comentário

Sugiro o post Termodinâmica: Calor, Trabalho e Energia Interna

1) Certa máquina térmica ideal funciona realizando o ciclo de Carnot. Em cada ciclo o trabalho útil fornecido pela máquina é 1000J. Sendo as temperaturas das fontes térmicas 127ºC e 27 ºC, respectivamente determine:
a) o rendimento da máquina;
b) a quantidade de calor retirada da fonte quente;
c) a quantidade de calor rejeitada para a fonte fria.

R.:

a) Como a máquina realiza um ciclo de Carnot, pode-se calcular o rendimento de acordo com a fórmula definida por Carnot. Mas transformemos primeiro as temperaturas para kelvin. Assim:
Para 27°C
Tk = Tc + 273
Tk = 27 + 273
Tk = 300 K
para 127°C
Tk = Tc + 273
Tk = 127 + 273
Tk = 400 K
Assim:
n = 1 – (Tf / Tq)
n = 1 – (300 / 400)
n = 1 – 0,75
n = 0,25
b) Sabe-se que o rendimento é a relação entre o que foi útil (trabalho = ζ) e o total produzido (Qq). Assim:
n = ζ / Qq
0,25 = 1000 / Qq
Qq = 1000 / 0,25
Qq = 4000 J
c) Sabe-se que o trabalho é o que foi útil, ou seja, a diferença entre o total produzido e o que foi rejeitado. Assim:
ζ = Qq – Qf
1000 = 4000 – Qf
Qf = 4000 – 1000
Qf = 3000 J

2) Uma máquina térmica reversível opera, a cada ciclo, recebendo 600 J de uma fonte quente e liberando 200 J para o ambiente, cuja temperatura se encontra a 27,0 °C. Qual a temperatura, em Celsius, da fonte quente?

R.:

o que relaciona a temperatura das fontes quente e fria com a quantidade de calor das fontes quente e fria é o rendimento(n) que pode ser dado por:
n = 1 – (Tf / Tq)
e:
n = 1 – (Qf/Qq)
assim, essas duas fórmulas dão o mesmo rendimento para a máquina. então, igualando, temos:
n = n
1 – (Tf / Tq) = 1 – (Qf/Qq)
Tf / Tq = Qf/Qq
mas, antes de aplicar os dados, vamos transformar a temperatura de celsius para kelvin. então:
Tk = Tc + 273
sendo Tc = 27°C, temos:
Tk = 27 + 273
Tk = 300K
assim, sendo Qq = 600J, Qf = 200J e Tf = 300K, temos que:
Tf / Tq = Qf/Qq
300 / Tq = 200 / 600
meios pelos extremos:
200Tq = 180000
Tq = 180000 / 200
Tq = 900K
assim, basta transformamos para celsius. sendo Tk = 900K, temos:
Tk = Tc + 273
900 = Tc + 273
Tc = 900 – 273
Tc = 627°C
Portanto, a temperatura da fonte quente é 627°C.

3) Num refrigerador, em cada ciclo, a boma de calor consegue retirar 180J do interior da geladeira enquanto o compressor realiza um trabalho de 45J.

a) Qual é a quantidade de calor que o refrigerador transfere para a atmosfera, em cada ciclo?

b) Qual é a eficiência desse refrigerador?

R.:

Pela conservação da energia temos que:

Qq = Qf + W

A quantidade que foi retirada da geladeira é a quantidade de calor da fonte fria (Qf = 180J) pois na geladeira temos que o meio interno é menos quente que o externo. E sendo o trabalho realizado W = 45 J, temos:

Qq = Qf + Q

Qq = 180 + 45

Qq = 225 J

b) A eficiência de uma bomba de calor (o caso do refrigerador) é dada por:

e = Qf / W

Assim, sendo Qf = 180 J e W = 45 J, temos:

e = 180 / 45

e = 4

4) Uma máqina térmica executa o ciclo representado no gráfico seguinte.

Se a máquina executa 10 ciclos por segundo, a potência desenvolvida, em quilowatt é:

a) 8

b) 8000

c) 80

d) 800

e) 0,8

R.:

A potência é o trabalho realizado pelo tempo. Assim, precisamos descobrir o trabalho que é relizado em cada ciclo. Vamos começar essa análise pelo ponto A. O trabalho (W) realizado de A para B foi sob pressão constante e volume variável. Logo:

Wab = pΔV

Wab = p(V – Vo)

Note que a pressão é p = 5*105 N/m² (observe a indicação desse fato no gráfico) pois a ordem 105 foi omitida. Sendo o volume inicial em A Vo = 0,20 m³ e o volume final em B V = 0,40 m³, temos:

Wab = 5*105 * (0,40 – 0,20)

Wab = 5*105 * 0,20

Wab = 1,0*105 J

De B até C temos que a pressão variou, mas o volume não. Logo, o trabalho realizado de B até C foi nulo pois não houve variação de volume (Note que trabalho é dado por W = pΔV). Assim, Wbc = 0J. De C até D temos variação de volume sob pressão constante. Assim, sendo p = 1*105 N/m², volume inicial Vo = 0,40 m³ e volume final V = 0,20 m³, temos:

Wcd = pΔV

Wcd = 1*105 * (0,20 – 0,40)

Wcd = 1*105 *(-0,20)

Wcd = -0,2*105 N/m²

E de C até A temos variação de pressão mas não variação de volume. Logo, novamente, Wca = 0J. O trabalho total é a soma dos trabalhos parciais. Assim:

W = Wab + Wbc + Wcd + Wda

W = 1*105  + 0 + (-0,2*105) + 0

W = 0,8*105 J

Esse é o trabalho realizado em cada ciclo. Logo, em 10 ciclos:

W = 10 * 0,8*105

W = 8*105 J

O trabalho foi multiplicado por 10 pois eu quero saber a potência dessa máquina que, segundo a questão, realiza 10 ciclos a cada segundo. Logo, o trabalho vai ser W = 8*105 J no intervalo de 1 segundo. Assim:

p = W / Δt

p = 8*105  / 1

p = 8*105 W

p = 800000 W

Mas a questão pede a potência em quilowatt. Assim, sendo 1 kW = 10³ W, temos que p = 800 kW. Portanto, a alternativa correta é D.

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