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Trabalho e Energia – Exercícios

agosto 8, 2010 Deixe um comentário

1) Uma lâmpada acesa é completamente mergulhada em um vaso contendo 6.000g de água,e,após 5 minutos,a temperatura da água aumenta de 3ºC.Qual a potência na lâmpada?

R.:

Primeiro vamos descobrir a quantidade de calor, que será em caloria, ai nós vamos transformar de caloria para joule, para aí aplicar na fórmula de potência, transformando o tempo em segundos. Sabendo que a variação foi de 3°C, então:
Q=mcΔT
Q=6000*1*3
Q=18000 cal
Agora sabendo que 1cal=4,186J, temos:
1————- 4,186
18000——- x
x= 75,348 J
Vamos descobrir o tempo agora em segundos, sabendo q 1min=60s:
1 ——– 60
5 ——– x
x=300s
Agora sabe-se que a potência é a variação de energia aplicada em um determinado intervalo de tempo, daí a fórmula a seguir ser:
p=ΔE/Δt
p=75348/300
p=251,16 W (watts)

2) Comparada com a energia necessária para acelerar um automóvel de 0 a 60 km/h, quanta energia é necessária para acelerá-lo de 60 km/h a 120 km/h, desprezando a ação do atrito?
a) A mesma
b) O dobro
c) O triplo
d) Quatro vezes mais
e) Oito vezes mais

R.:

A energia total é igual a variação de energia mecânica. Como não há altura, só teremos energia cinética. Logo, a variação de energia mecânica é igual a variação de energia cinética, para esse caso. Assim:
ΔEm = ΔEc
Ora, a variação de energia cinética é a energia cinética final menos a inicial. assim, para a primeira situação, tem-se:
ΔEc1 = Ec – Eco
ΔEc1 = mv²/2 – mvo² / 2
ΔEc1 = m*60²/2 – m*0² / 2
ΔEc1 = 3600m / 2
ΔEc1 = 1800m
Para a segunda situação, tem-se:
ΔEc2 = Ec – Eco
ΔEc2 = mv² / 2 – mvo² / 2
ΔEc2 = m*120² / 2 – m*60² / 2
ΔEc2 = 14400m / 2 – 3600m / 2
ΔEc2 = 7200m – 1800m
ΔEc2 = 5400m
Ora, 5400m = 3*1800m. Assim:
ΔEc2 = 3*1800m
como ΔEc1 = 1800m, tem-se:
ΔEc2 = 3*ΔEc1
Alternativa C.

3) Um bloco de massa m = 0,20 kg desliza sobre um plano horizontal sem atrito com velocidade de 4,0 m/s. Ele atinge e atravessa, em linha reta, um trecho de 1,2 m de comprimento onde existe atrito. Logo após a travessia, a velocidade do bloco é de 2,0 m/s.
Determine: o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a região do plano onde existe atrito. (Admita g = 10 m/s².)

R.:

Como há atrito, a variação de energia cinética entre dois pontos, revelará o quanto de energia foi dissipada. Logo trabalho, da força de atrito, é igual a variação de energia cinética. Assim:
|W| = ΔEc
Em módulo pois queremos só o valor absoluto, ao invés de valores negativos. Assim:
Fat*d = ΔEc
Como Fat = μN, tem-se:
μNd = ΔEc (N = P = 0,2*10 = 2N – horizontal, sem inclinação)
μNd = mv1²/2 – mv2² / 2
μ*2*1,2 = 0,2*4² / 2 – 0,2*2² / 2
2,4μ = 1,6 – 0,4
2,4μ = 1,2
μ = 1,2 / 2,4
μ = 0,5

4) Num cilindro, o vapor entra sob pressão constante de 50N/m², empurrando o pistão, cuja área é de 100cm², num percurso de 50cm. Qual o trabalho realizado pelo vapor nesse percurso?

R.:

Bem, primeiro precisamos descobrir a força. assim, como temos a pressão e a área, podemos fazê-lo. Mas primeiro vamos transformar a área para m², a fim das unidades coincidirem. Como é uma unidade ao quadrado, para passarmos uma unidade, precisamos andar duas casas. Assim, como precisamos passar de cm² para m² vamos andar quatro casas pois passaremos por duas unidades. Assim:
100cm² = 0,01m²
Então:
p = F / A
50 = F / 0,01
F = 0,5 N
Agora é só aplicar na definição de trabalho (ζ). Como a força e o deslocamento tiveram uma mesma linha de ação (direção), o ângulo será de 0°, tendo um cosseno igual a um. Assim:
ζ = F*d*cos
ζ = 0,5*0,5*1 (50cm = 0,5m)
ζ = 0,25 J

5) Uma caixa cuja velocidade é de 10m/s leva 2 s deslizando sobre uma superfície até parar completamente. Considerando a aceleração da gravidade g=10m/s², determine o coeficiente de atrito cinético que atua entre a superficie e a caixa.

R.:

Bem, de acordo com o teorema da energia cinética:
-ζ = ΔEc
Como é o trabalho da força de atrito é negativo. Assim:
-ζ = Ec – Eco
-ζ = mv²/2 – mvo² / 2
Ao final do trajeto a velocidade é nula, ou seja, v = 0. Assim:
-ζ = m0²/2 – mvo² / 2
-ζ = – mvo² / 2 *(-1)
ζ = mvo² / 2
O trabalho é da força de atrito que é dado por:
ζ = Fat*d
ζ = μNd
Como o corpo está na horizontal, N = P = mg. Assim:
ζ = μmgd
Assim:
μmgd = mvo² / 2
Cortando-se massa com massa:
μgd = vo² / 2
Mas para isso precisamos da distância. Assim, aplicando a velocidade e o tempo na função horária da velocidade para descobrir a aceleração, tem-se:
v = vo + at
0 = 10 + a*2
2a = -10
a = -5m/s²
Para descobrir a distância apliquemos na função horária do espaço. Então:
s = so + vo*t + at² / 2
s = 0 + 10*2 +(-5)*2² / 2
s = 20 -20 / 2
s = 20 – 10
s = 10 m
Assim:
μgd = vo² / 2
μ*10*10 = 10² / 2
100μ = 100 / 2
100μ = 50
μ = 50 / 100
μ = 0,5

Portanto, o coeficiente de atrito cinético é 0,5.

6) Um bloco de pequenas dimensões e massa 5 Kg é lançado do ponto A (topo do trilho inclinado) de um trilho reto e inclinado, com uma velocidade de 2 m/s. A única oposição ao movimento do bloco é a de atrito cinético que tem um valor igual a 0,6. Nessas condições, supondo g=10m/s², o bloco atingirá o ponto B (base do trilho inclinado) com qual velocidade ? (Dados: base: 4m; altura: 3m)

R.:

Temos que b é a base desse plano inclinado e h é a altura desse plano inclinado. Sabe-se que o trabalho(W) da força de atrito é a diferença entre a energia mecânica final e a inicial pois essa essa diferença foi a energia dissipada na forma de atrito. Assim:
-W = Emf – Emi
Ora no ponto que a altura é nula, no plano, o corpo só possui energia cinética (Ec = mv²/2), mas no ponto de altura máxima ele possui, além de energia potencial (Ep = mgh), energia cinética, nesse caso, pois a velocidade que ele partiu foi de 2m/s. Então:
-Fat * d = mv²/2 – (mv²/2 + mgh)
Sabe-se que a normal em um plano inclinado é igual ao peso na vertical (Py). E este é dado por Py = N = cosx*P´. Para sabermos o cosseno precisamos descobrir a hipotenusa. Então, aplicando no teorema de pitágoras, temos que a hipotenusa é igual a 5 (note que a hipotenusa é a distância d) e o cosseno é dado por:

cosx = b / d

cosx = 4 / 5

Então:
N = cosx*P
N = cosx*m*g
N = (4/5)*5*10
N = (4/5)*50
N = 40 N
Sabe-se que:
Fat = -μ*N
Então:
-Fat * d = mv²/2 – (mv²/2 + mgh)
-μ*N*d = mv²/2 – (mv²/2 + mgh)
-(0,6*40*5) = 5v²/2 – (5*2²/2 + 5*10*3)
-120 = 5v²/2 – (10 + 150)
-120 = 5v²/2 – 160
5v²/2 = 40
Fazendo-se meios pelos extremos:
5v² = 80
v² = 80 / 5
v² = 16
v = √16
v =4 m/s
obs.:
*O trabalho da força de atrito é negativo pois o atrito é uma força que se opõe ao movimento.

7) Um carrinho de montanha russa parte do ponto A, onde possuia velocidade inicial nula, a uma altura h e realiza um “loop” de raio R. Considerando que o carrinho realiza todo o percurso sem sofrer influência de forças de atrito, qual deve ser a altura h mínima, em função de R, tal que isso seja possível?

R.:

Um erro muito comum que se comete é achar que a altura é igual a 2R pois igualam a energia inicial, Eo, (potencial gravitacional inicial – Epo) a energia final, E, e acham que esta é somente a energia potencial (final – Ep) equivalente ao dobro do raio. Mas note que o carrinho só faz um loop se tiver velocidade, afinal eu nunca soube de um carrinho de montanha russa que fez um loop sem velocidade. Logo, a energia final, além da energia potencial gravitacional com valor de uma altura igual ao dobro do raio, tem-se também uma energia cinética (Ec) com uma velocidade desconhecida. Assim, temos que:

Eo =E

Epo = Ep + Ec

mgh = mg(2R) + mv² / 2   (I)

Para saber essa velocidade mínima no ponto mais alto do loop, vamos fazer a resultante das forças (no ponto mais alto do loop). Nós temos a força peso para baixo (P) e além dela temos a força normal (N) também para baixo. Assim, como o carrinho realiza movimento circular, a resultante dessas forças é centrípeta (Rc). Assim:

Rc = P + N

A velocidade será mínima quando a força normal for nula. Assim, sendo Rc = mv² / R, temos:

Rc = P + 0

mv² / R = mg

v² = Rmg / m

v² = Rg

Assim, aplicando na equação (I), temos:

mgh = mg(2R) + mv² / 2

mgh = 2mgR + mRg / 2

cortando-se todas massas m e acelerações da gravidade g, temos:

h = 2R + R/2

h = (4R + R) / 2

h = 5R / 2

Logo, a altura mínima é 2,5R. Note que a altura fica acima da altura do loop, que é 2R.

8 ) Um garoto escorrega do topo de uma estrutura semi-circular de gelo com raio R. Qual é a altura que o garoto perde o contato com a estrutura.

R.:

A primeira coisa a se perguntar nessa questão é o que ocorre quando ele perde o contato com o gelo, fisicamente falando. Quando se diz que “ele perde contato”, percebe-se que a força normal é nula. Então temos que descobrir o que ocorre quando a força normal é nula. Assim, chamemos de A o ponto em que o garoto estava no começo e B o ponto em que a normal, N, é nula. Seja O a origem. Assim, pela figura, note que o ângulo formado pelos segmentos OA e OB é o ângulo em que o garoto perde contato com a superfície. Traçando uma reta horizontal do ponto B até o ponto B’ (intersecção dessa reta com a semi-reta OA), temos que OB’ é h, a altura em que isso ocorre. e pelo cosseno, temos:
cos x = h/R
h = Rcos x
Agora, fazendo a resultante de forças, temos que nesse ponto B só há a força peso. Decompondo esta em componentes radial (Pr) e tangencial (Pt), temos que o triângulo formado por essas componentes é semelhante ao triângulo OB’B e o peso se assemelha ao segmento OB’ e a componente radial se assemelha a OB (só note que esse triângulo está invertido). Assim, pelo cosseno (o ângulo é o mesmo pois temos os mesmos segmentos formando um mesmo ângulo), temos:
cos x = Pr/P
Pr = mgcos x
A resultante centrípeta nesse ponto é Pr. Assim:
Rc = Pr
mv²/R = mgcos x
v² = Rgcos x
Agora, pela conservação da energia, temos que Ea = mgR (onde R, o raio, é a altura desse ponto) e Eb = Ec + Ep = mv²/2 + mgh. Assim, a energia se conserva e temos:
Ea = Eb
mgR = mv²/2 + mgh
gR = v²/2 + gh
v²/2 = g(R – h)
v² = 2g(R – h)
Como v² = Rgcos x e h = Rcos x, ou seja, cos x = h/R, temos, portanto:
Rgcos x = 2gR – 2gh
Rg(h/R) = 2gR – 2gh
gh = 2gR – 2gh
3gh = 2gR
3h = 2R
h = (2/3)R

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