Físico sem Fronteiras

maio 10, 2017 Deixe um comentário

Muitos de nós sonhamos em estudar fora, seja por vontade de viver uma nova experiência ou para escapar da crise que tem atingido nosso país. Mas como ser físico e estudar fora do país? Quem sabe até morar lá. Bem, não sou o mais confiável para indicar o “caminho das pedras”, visto que nunca vivi essa experiência. No entanto, este não é um bom argumento, visto que por ter pesquisado bastante sobre o tema, fui descobrindo o que preciso fazer para isso. A diferença é que, por razões pessoais, ainda não dei este passo. Mas vamos ao que interessa.

A aplicação, como é chamada a inscrição para concorrer a uma vaga em alguma universidade no exterior, pode ser dividida em duas: direta ou indireta (classificação minha). A direta seria a feita por você, sem intermédio do governo brasileiro. A indireta utilizaria algum programa de estudo do Brasil para isso (caso do Ciências Sem Fronteiras).
Se você for fazer a aplicação de forma direta, você vai precisar traduzir seu diploma para o inglês. Este passo custa de 400 a 1000 reais, dependendo de quantos documentos você irá traduzir. Em geral, as universidades pedem a tradução do seu diploma (1) e do respectivo histórico análitico do curso (1). Até aqui são dois documentos a traduzir. Se você tem mestrado e doutorado, serão no total 4 e 6 documentos, respectivamente. A tradução deve ser juramentada (pesquise sobre isso), pois é uma forma de garantir a autenticidade da tradução para a universidade. E o preço é padrão: não adiantar procurar outro tradutor para diminuir o preço.
Em seguida, como você não é bobo, você irá procurar por alguma oferta de bolsa integral que a universidade oferece (e existem muitas). Isso porque no exterior as universidades são pagas. Para quem mora no país, vamos supor, Reino Unido, o preço é cerca de 7 mil libras. Pois é, libras. Se está caro, segure-se, pois a pior parte vem agora. As universidades cobram uma taxa para “overseas students”, isto é, estudantes internacionais (cada universidade tem seu critério do que é um oversea student). Assim, o valor para um estudante internacional fica sendo 18 mil libras para o estudante internacional. Naturalmente, esse preço depende do curso (física, química, etc) e do grau (graduação, mestrado, doutorado, PhD, etc). Mas, pra resumir, é caro. Na Nova Zelândia existe uma gentileza do governo que cobra a mesma taxa local para o estudante estrangeiro que for fazer doutorado lá (só doutorado). Assim, o melhor é pesquisar por bolsas integrais. Programas como o Chevening Brazil para estudar no Reino Unido e ELAP para estudar no Canadá são alguns. Mas aconselho escolher alguns países primeiro (supondo que você já escolheu sua linha de pesquisa) para em seguida partir para a pesquisa dessas ofertas de bolsas integrais (o equivalente de bolsas é scholarships no inglês).
Escolha sua universidade e verifique o que ela exige antes de sair pagando por documentos desnecessários.

E claro que você deve incluir em seus cálculos despesas médicas (seguro de saúde), onde você vai morar (república, nas acomodações da universidade, etc) e o preço mensal, além do custo com alimentação e transporte. Esses custos aqui citados já estão inclusos para o caso de bolsas integrais. Mas se sua bolsa não é integral ou mesmo se você vai pagar pelo curso todo, o melhor mesmo é procurar um país onde o câmbio da moeda em relação ao real não é tão alto (câmbio de no máximo 2,5).
Talvez você pense: ” Com certeza não tenho esse dinheiro todo!”. Bem, caso não consiga uma bolsa integral, não desanime. Você talvez possa pagar por um intercâmbio para aperfeiçoar o inglês ou algum outro idioma, que, para um físico é fundamental. Assim, procurar fazer um intercâmbio de algumas semanas é o ideal se você só quer ter uma experiência nova. Caso não seja seu caso, tente se planejar e não desanime.
Talvez você pergunte: “Mas e a opção indireta?” Bem, é como ter um bolsa integral. Mas atualmente o Ciências Sem Fronteiras está aberto para a Pós-Graduação. E a condição é que o participante deve voltar e contribuir com o país por pelo menos dois anos.
No mais, boa viagem a todos.

O que faz um Físico Médico?

abril 26, 2017 Comentários desligados

Hoje vou falar um pouco da vida de um Físico Médico. Talvez você nunca tenha tido conhecimento dessa profissão, mas ela existe. A Física Médica é uma área interdisciplinar com a Medicina e participa tanto do tratamento de pacientes quanto do diagnóstico fazendo uso de equipamentos que liberam radiação ionizante (radiação tanto de partículas quanto de fótons). Na área de diagnóstico tem-se equipamentos como Raios-X, Mamografia, PET (Positron Emission Tomography), CT (Computed Tomography), os quais servem para diagnosticar tumores (benignos ou malignos), coágulos, entupimento de artérias, doenças degenerativas como Parkinson, dentre outras. Na parte de tratamento o equipamento principal é o Linac (Linear Accelerator) e serve para tratamento de câncer (tumor maligno). Existe também equipamentos com fonte de Cobalto-60. A principal diferença é que o Linac produz radiação somente na hora do tratamento, enquanto que os equipamentos a Cobalto-60 emitem radiação constantemente por se tratar de um material radioativo (isto é, elemento instável que sofre decaimentos nucleares a fim de chegar a um elemento estável; nesse decaimento radiação característica é emitida).

Em todo hospital existe (ou pelo menos deveria existir) Físicos Médicos. O seu trabalho vai depender da área em que atua, mas algumas dessas funções são: verificar se os equipamentos estão funcionando de acordo, realizando processos de medição da dose de radiação; também realizam testes de radiação de fuga (que pode estar escapando da blindagem do equipamento), testes para verificar se o campo de visão é o mesmo no qual a radiação está incidindo;  na radioterapia eles calculam a dose de radiação efetiva que o paciente irá receber no tratamento; na medicina nuclear manipulam radiofármacos (e dependendo do radiofármaco podem participar de sua produção) que serão administrados nos pacientes a fim de realizar exames.

O trabalho de um Físico Médico é de grande responsabilidade e não tolera erros, pois lida constantemente com vidas e sua tarefa é utilizar a radiação ionizante no paciente de forma a beneficiá-lo e ao mesmo tempo expondo o próprio ao menor nível de risco possível. Existem três grandes áreas de atuação do físico médico:

  • Radioterapia. Lida com equipamentos que utilizam a radiação para tratar pacientes com câncer (fonte de Cobalto-60 ou LINAC);
  • Radiodiagnóstico. Lida com equipamentos cuja função é diagnosticar alguma patologia no paciente; dentre esses equipamentos estão a Tomografia Computadorizada, PET e Raios-X;
  • Medicina Nuclear. Lida com equipamentos que necessitam da administração de radiofármacos no paciente para que seja diagnosticada a patologia.

O caminho para se tornar um físico médico é formando-se em Física Médica, Física Bacharelado ou Física Licenciatura. Em seguida, fazer uma residência em física médica em alguma dessas áreas acima e, por fim, submeter-se à prova da ABFM (Associação Brasileira de Física Médica) para obter o certificado de especialista em alguma dessas áreas.

O físico médico é um profissional que tem tanto uma rotina de trabalho bem estabelecida quanto imprevistos no seu dia. Um equipamento pode parar de funcionar ou mostrar um comportamento inesperado. Em cada situação que aparece, o físico precisa identificar as causas do problema utilizando-se de testes já conhecidos e decidir se o equipamento pode continuar a ser usado ou não. É bem parecido com um físico pesquisador experimental que lida com equipamentos que muitas vezes não mostram o comportamento esperado e que tenta encontrar as causas dessa disfunção.

Qualquer dúvida, comentem.

O tempo e a percepção humana

junho 26, 2014 2 comentários

Tudo começou como se fosse uma dor de cabeça mas logo foi ficando muito estranho. Simon Baker entrou no banheiro para ver se um banho quente poderia aliviar a sua dor. “Eu olhei para o chuveiro, e era como se as gotas de água tivessem parado no ar”, diz ele. “Elas entraram em foco rapidamente, ao longo de alguns segundos”. Onde você normalmente perceberia o fluxo de água como mais um borrão de movimento, ele podia ver cada gota pendurada na frente dele, distorcida pela pressão do ar. O efeito, lembra ele, era muito semelhante à maneira como as balas viajam nos filmes Matrix. “Foi como um filme de alta velocidade, mais lento.”

No dia seguinte, Baker foi para o hospital, onde os médicos descobriram que ele tinha sofrido um aneurisma. A experiência foi logo ofuscada pela ameaça mais imediata à sua saúde, mas, em um sessão de acompanhamento, ele passou a mencionar o que aconteceu com o seu neurologista, Fred Ovsiew na Northwestern University, em Chicago. “Ele era um cara muito inteligente, e muito eloquente”, diz Ovsiew, que recentemente escreveu sobre Baker na revista NeuroCase. (A identidade de Baker foi anônima, o que é típico para tais estudos, de modo que este não é seu nome real).

É fácil supor que o tempo flui na mesma taxa para todos, mas experiências como a de  Baker mostram que o nosso fluxo contínuo de consciência é uma ilusão frágil, costuradas por uma edição inteligente do cérebro. Ao estudar o que acontece durante esses eventos extremos, os pesquisadores estão descobrindo como e por que o cérebro desempenha esses truques temporais – e, em algumas circunstâncias, eles sugerem que, todos nós podemos experimentar  a deformação tempo.

Embora Baker seja talvez o caso mais dramático, um punhado de relatos notavelmente semelhantes podem ser encontrados, de forma intermitente, na literatura médica. Há relatos do tempo acelerando – os chamados “fenômeno Zeitraffer” – e também mais experiências fragmentárias chamadas “akinetopsia”, em que o movimento pára momentaneamente. Por exemplo, ao voltar para casa, um dia, uma mulher de 61 anos de idade, informou que o movimento das portas do trem e de outros passageiros, ficou em câmera lenta e “particionados”, como nos “frames congelados”. Um japonês de 58 anos de idade, por sua vez, parecia experimentar a vida como um filme mal dublado; na conversa, ele descobriu que, embora as vozes dos outros parecessem normais, elas estavam fora de sincronia com seus rostos. Pode haver muitos mais casos não notificados, diz Ovsiew. “Uma vez que é um fenômeno transitório, pode muitas vezes ser esquecido.”

Tais experiências quase sempre acompanham problemas como epilepsia ou derrame. Baker tinha apenas 39, no momento da sua experiência, o que parece ter sido causada por um vaso sanguíneo enfraquecido, que começou a sangrar enquanto ele estava carregando algumas caixas pesadas. O resultado foi uma mancha relativamente grande de dano neural no hemisfério direito. “Nos exames, parece que há um charuto na minha cabeça”, brinca hoje.

No entanto, por que isso afeta a percepção do tempo de Baker? Algumas pistas podem vir de estudos que tentaram identificar as regiões responsáveis ​​pela nossa percepção de tempo. Em particular está uma região do córtex visual, chamada V5. Esta região, que fica na parte traseira do crânio, ficou conhecida por detectar o movimento dos objetos, mas talvez tenha um papel mais geral na medição da passagem do tempo. Quando Domenica Bueti e colegas do Hospital da Universidade de Lausanne, na Suíça eletrocutaram a área com um campo magnético para suprimir sua atividade, seus pacientes achavam complicado fazer duas coisas: eles tinham dificuldades para acompanhar o movimento de pontos em uma tela, como era de se esperar, mas também acharam difícil estimar quanto tempo alguns pontos azuis apareciam.

Uma explicação para isto é que o nosso sistema de percepção de movimento tem seu próprio cronômetro, registrando como as coisas estão se movendo em toda a nossa visão – e quando isso é interrompido por uma lesão cerebral, o mundo fica parado. Para Baker, entrar no chuveiro pode ter agravado o problema, já que a água quente teria tirado o sangue do cérebro para as extremidades do corpo, perturbando ainda mais o processamento do cérebro.

Esta é apenas uma possibilidade; nem todos os pacientes com essas experiências de tempo distorcido têm danos na região V5. Outra explicação vem da descoberta de que o nosso cérebro registra suas percepções em uma espécie de fotografias instantâneas discretas, como os quadros de um rolo de filme. “O cérebro saudável reconstrói a experiência ligando os diferentes quadros”, diz Rufin VanRullen no Centro de Pesquisa Francês de Cérebro e Cognição em Toulouse, mas se o dano cerebral destrói a cola que liga os diferentes quadros, você só pode ver as fotos.”

Todos nós podemos experimentar a sensação de uma imagem suave e normal quebrar de vez em quando. Para começar, se você já olhou o ultrapassar de carros na estrada, as rodas podem parecer estar paradas. Isso acontece porque as “fotografias” instantâneas e intermitentes do cérebro não conseguem captar o movimento da roda totalmente. Se, por exemplo, a roda fez uma rotação completa entre cada “frame”, ela parece estar exatamente na mesma posição em cada uma das “fotografias”, dando a ilusão de que ela está parada.

Usuários de LSD frequentemente relatam “pistas visuais” seguindo objetos em movimento, algo como as trilhas de balas no filme Matrix. VanRullen suspeita que isso pode surgir porque o cérebro de alguma forma sobrepõe essas fotografias instantâneas, ao invés de atualizar a sua imagem de novo.

Relatos de paralisação do tempo também são comuns durante um acidente com risco de vida. Em uma pesquisa com pessoas que beiraram a morte, mais de 70% relataram a sensação de que o evento ocorreu em câmera lenta. Alguns pesquisadores afirmam que isto é simplesmente um truque de memória, uma vez que as intensas emoções levam-nos a estabelecer mais detalhes, nos fazendo acreditar que o evento durou mais. Mas as descrições certamente soam tão parecidas com aquelas relatadas pelos pacientes neurológicos, que sugerem que pode haver alguma ligação.

Por exemplo, uma pessoa disse aos pesquisadores na década de 1970 como eles vividamente lembravam de ver o rosto do engenheiro de um trem durante uma colisão quase fatal: “Foi como se um filme rolasse devagar até que de repente acelerasse num movimento brusco – foi assim que eu vi o rosto “.

Além do mais, Valtteri Arstila, da Universidade de Turku, na Finlândia, aponta que muitos desses sujeitos também relatam a sensação de pensamento rápido de uma maneira anormal. Como um piloto, que tinha enfrentado um acidente de avião na Guerra do Vietnã, que disse: “Eu vividamente me recordei, em questão de cerca de três segundos, mais de uma dezena de ações necessárias para a recuperação bem sucedida de vôo “. Revisando os estudos de caso e pesquisas científicas disponíveis sobre o assunto, Arstila conclui que um mecanismo automático, desencadeado por hormônios do estresse, pode acelerar o processamento interno do cérebro para ajudá-la a lidar com a situação de vida ou morte. “Nossos pensamentos e iniciação de movimentos tornam-se mais rápidos -, mas porque estamos a trabalhar mais rápido, o mundo externo parece desacelerar”, diz ele. É até possível que alguns atletas tenham treinado deliberadamente para criar um túnel do tempo sobre a demanda: surfistas, por exemplo, muitas vezes podem ajustar seu ângulo na fração de segundo que levam para surfar as ondas íngremes, com a água em cima deles.

Para Baker, a experiência foi única, e após a cirurgia para remover os vasos sanguíneos danificados, ele teve uma recuperação completa. Ele permanece notavelmente otimista sobre sua condição, ressaltando que, em alguns aspectos, tem sido realmente benéfica. Antes disso, ele havia sido um tanto reservado, especialmente ao redor de estranhos – uma tendência que até tinha sido rotulada como uma deficiência por sua escola. Mas hoje, a timidez passou – um fato que é claramente evidente quando ele conversa alegremente durante a nossa conversa por telefone. Ovsiew verificou o relatório com a mulher do padeiro. “Ela confirmou que ele estava mais calmo, mais falante e mais amigável em situações sociais”, diz Ovsiew.

A experiência de congelamento do tempo, por sua vez, deu-lhe uma nova visão sobre a fragilidade de nossas experiências conscientes. “Foi um exemplo muito concreto de como uma coisa localizada no seu cérebro pode mudar toda a sua percepção do mundo”, diz ele. “Em um minuto eu estava bem, no minuto seguinte eu estava em uma realidade alterada.”

Fonte: BBB – Future – The man who saw time stand still [http://tinyurl.com/mph3qxl]

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A matemática por trás do crime

março 20, 2014 2 comentários

a) Essa figura mostra uma simulação de pontos de crime em San Fernando Valley. b)  Pontos de crime obtidos pelo modelo de agente apresentam flutuações que não aparecem como no modelo das EDP's.

a) Essa figura mostra uma simulação de pontos de crime em San Fernando Valley. b) Pontos de crime obtidos pelo modelo de agente apresentam flutuações que não aparecem como no modelo das EDP’s.

O que você diria se crimes pudessem ser previstos por computadores? Ao longo dos últimos anos, Martin B. Short, tem desenvolvido teorias que não somente explicam os padrões mas também ajudam a prever onde e quando os crimes podem ocorrer num futuro próximo.

Para aqueles que já tiveram suas casas invadidas, saibam que os criminosos tendem a retornar à mesma casa (repetição de vítima) ou as casas vizinhas (repetição próxima de vítima). Isso porque, depois de roubar uma casa, o ladrão tem informações suficientes sobre ela, como o tipo de bens presentes, quais as formas de segurança, quando os donos não estão por perto, etc. Retornar a mesma casa diminui o risco de ser pego. E como casas vizinhas e seus respectivos donos são geralmente similares em vários aspectos, o criminoso se sente mais a vontade em roubar a casa dos vizinhos. Além do mais, ainda que o mesmo criminoso não volte, evidências físicas do crime podem ser deixadas, uma janela quebrada por exemplo, de tal forma que subconscientemente indique a outros ladrões que a casa não é tão bem protegida e pode ser um alvo fácil.

A tendência para criminosos voltarem aos mesmos locais repetidamente leva a áreas de alto risco de crime. Uma técnica utilizada pela polícia é mapear esses pontos a medida que eles surgem. No entanto, ainda não é claro como melhor construir tais mapas. Além do mais, a polícia deseja poder construir um mapa prevendo os pontos “quentes” do crime para o dia de amanhã, antes que sejam cometidos.

Para construir o modelo, foi necessária uma simulação baseada em agentes: um programa que simula agentes criminosos em suas rotinas diárias numa cidade virtual e ocasionalmente cometendo crimes. Em cada local da cidade mais agentes são gerados a uma taxa [; \Gamma ;]. Uma vez gerados, movem-se pela cidade procurando por oportunidades. A decisão que o criminoso toma em cometer ou não um crime é dita probabilística, com a atratividade [; A_i ;] (taxa de crimes instantânea no local).

Se o criminoso não comete um crime na sua atual localização, ele se move para um ponto j adjacente na cidade executando uma caminhada aleatória com probabilidade [; A_j ;]. Como resultado, os criminosos tendem a se mover para áreas mais atrativas em questão de crimes. Também foi imposto que uma vez que um desses agentes comete um crime, o algoritmo o remove da cidade (que é basicamente a boa suposição de que o mesmo leva um tempo para voltar atuar, esse tempo sendo determinado pela taxa [; \Gamma ;].

Já para simular a vitimização repetitiva, é preciso impor que a atratividade de um local i é uma combinação linear de dois fatores: uma atratividade intrínseca, [; A_o ;], constante no espaço e tempo, e uma atratividade dinâmica, [; B_i ;], que varia no tempo conforme os crimes são (ou não são) cometidos no ponto. Especificamente, a medida que crimes ocorrem no mesmo local i, [; B_i ;] aumenta por uma quantidade [; \Theta ;]. Como resultado, os crimes se tornam mais prováveis de acontecer ali no futuro. Além do mais, em cada rodada uma fração [; \eta ;] da atratividade dinâmica em i é espalhada pra os locais vizinhos, fazendo com que locais próximos ao pontos “quentes” se tornem também mais prováveis para o crime, como é de se esperar. Para limitar essa descrição apenas para um futuro próximo, também é imposto que [; B_j ;] decai exponencialmente com o tempo, a uma taxa [; \omega ;].

Um dos problemas do modelo baseado em agentes é que é difícil prever como a mudança de parâmetros necessários para a simulação afeta os resultados. Algumas combinações fazem surgir os pontos quentes, outras não. Fazendo-se necessária a repetição da simulação milhares de vezes para descobrir como cada um deles afeta os resultados. No entanto, para grandes cidades com muitos criminosos, existe um jeito mais simples, descrito pelas duas equações diferenciais parciais acopladas:

[; \frac{\partial A }{\partial t} = \eta \nabla ^{2} A – (A-A^{0}) + \rho A ;]

[; \frac{\partial \rho}{\partial t} = – \rho A + \bar{A} – A^{0} + \nabla .[\nabla \rho – \rho \nabla ln A^2] ;]

Onde A descreve a atratividade local e [; \rho ;] descreve a densidade de criminosos. Os outros três parâmetros são adimensionais. O espalhamento [; \eta ;] tem a mesma interpretação que na simulação baseada em agentes. [; A^0 ;] é uma versão escalada da atratividade intrínseca do modelo de agentes; e [; \bar{A} ;] é a média espacial de A no estado estacionário, construída a partir dos outros parâmetros da simulação.

Com essas equações, várias questões sobre crimes podem ser respondidas. Em especial, a desigualdade:

[; 3 \eta A^0 < 2 \eta \bar{A} – (\eta \bar{A})^2 – 2 (\eta \bar{A})^{3/2} ;]

Nos diz que crimes acontecem em locais próximos o suficiente para que as regiões vizinhas se sobreponham e formem pontos quentes, mas não tão próximas a ponto de causar um pesadelo gigante de criminalidade. Os pontos que satisfazem a desigualdade são chamados de supercríticos, enquanto que os que não satisfazem são chamados de subcríticos. Os primeiros simplesmente mudam para locais que a polícia não está cobrindo. Os últimos podem ser erradicados se a presença da polícia for suficiente.

Abaixo segue um vídeo da simulação de crimes em San Fernando Valley

Simulação de crimes em San Fernando Valley

Fonte

Um pouco de Mecânica Estatística

novembro 2, 2013 6 comentários

Problemas resolvidos:

Obtenha a pressão de um gás ideal em função de T, V e N calculando a função de partição.

Antes de tudo, devemos enfatizar que num gás ideal a interação entre as moléculas é desprezível. Dessa forma, o Hamiltoniano pode ser expresso apenas através da energia cinética:

[; H = \sum_{i=1}^{N} \frac{{p_i}^{2} }{2m} ;]   (1)

A função de partição Z é dada para um sistema de partículas indistinguíveis:

[; Z = \frac{1}{N!{h}^{3N}} \int d^3q d^3p \exp{(-\beta H(p,q))} ;]  (2)

Substituindo (1) em (2):

[; Z = \frac{1}{N!{h}^{3N}} \int d^3q d^3p \exp{(-\beta \sum_{i=1}^{N} \frac{{p_i}^{2} }{2m})};]

[; = \frac{1}{N!{h}^{3N}} \Pi_{i=1}^{N} \int d^3q_i \int d^3p_i;] [; \exp{(- \beta p_i^2/2m});]

[; = \frac{V^N}{N!{h}^{3N}} (\int_{0}^{\infty} dp;] [; \exp{(- \beta p^2/2m)^{3N};]

[; = \frac{V^N}{N!{h}^{3N}} (\frac{2\pi m}{\beta})^{3N/2} = \frac{V^N}{N!} (\frac{2\pi m k T}{h^2})^{3N/2} = \frac{V^N}{N! \lambda^{3N}};]  (3)

Onde [; \lambda ;] é um comprimento característico (algo análogo ao comprimento de onda).

Lembrando então que a Energia Livre de Helmholzt é dada por:

[; F = -kT \ln{Z} = -kT \ln{(\frac{V^N}{N! \lambda^{3N}})} = -kT( N \ln{V} -\ln{N!} – 3N \ln{\lambda} ) ;]

Agora basta calcular a pressão:

[; P = -\frac{\partial}{\partial V} F(T,V) = \frac{NkT}{V} ;]

Como era de se esperar.

Considere um sistema clássico de N moléclas diatômicas não-interagentes presas numa caixa de volume V à temperatura T. O Hamiltoniano de uma única molécula é dado por:

[; H(p_1, p_2, r_1, r_2) = \frac{p_1^{2} + p_2^{2}}{2m} + \frac{K |\vec{r_1} – \vec{r_2}|^2}{2m};]

Onde [; \vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{r_1}, \vec{r_2} ;] são os momentos e coordenadas dos dois átomos na molécula. Encontre:

(a)A energia livre de Helmholtz do sistema
(b)O calor específico a volume constante
(c)O diâmetro quadrado médio da molécula <|r1 -r2|²>

(a) Calculando a função de partição de uma molécula:

[; Z(T,V,1) = \frac{1}{h^6} \int d^3r_1 d^3r_2 d^3p_1 d^3p_2 \exp{(-\beta H(p,q))}  = ;]

[; = \frac{1}{h^6} \int d^3r_1 d^3r_2 d^3p_1 d^3p_2 \exp{(-\beta(\frac{p_1^{2} + p_2^{2}}{2m} + \frac{K |\vec{r_1} – \vec{r_2}|^2}{2m}) )} = ;]

[; = (\frac{2 m \pi}{\beta})^3 \frac{1}{h^6} \int d^3r_1 d^3r_2 \exp{(-\beta(\frac{K |\vec{r_1} – \vec{r_2}|^2}{2m}) )} = ;]

É preciso ter a intuição de que a integral acima terá uma “cara” mais bonita se fizermos uma mudança de variável:

[; \vec{r} = \vec{r_1} -\vec{r_2} \Rightarrow d \vec{r} = d \vec{r_1}  (\text{para r2 constante em modulo e direcao}) ;]

Logo:

[; Z(T,V,1) = (\frac{2 m \pi}{\beta})^3 \frac{1}{h^6} \int d^3r_2 \int d^3r \exp{(-\beta(\frac{K r^2}{2m}) )} = ;]

[; = (\frac{2 m \pi}{\beta})^3 \frac{V}{h^6}  \int_{0}^{\infty} 4 \pi r^2 dr \exp{(-\beta(\frac{K r^2}{2m}) )} =  \frac{2 \pi V}{\lambda^6} (\frac{2m}{\beta K})^{3/2} \int_{0}^{\infty} \sqrt{u} \exp{(-u)} du = ;]

[; = \frac{2\pi V}{\lambda^6} (\frac{2m}{\beta K})^{3/2} \Gamma (3/2) = \frac{V}{\lambda^6} (\frac{2 m \pi}{\beta K})^{3/2} = \frac{V}{\lambda^6} (\frac{2 m \pi}{\beta h^2})^{3/2} (\frac{h^2}{K})^{3/2} = ;]

[; = \frac{V}{\lambda^9} R_o^6 ;]

Portanto, a função de partição para todo o sistema é:

[; Z(T,V,N) = \frac{Z(T,V,1)^N}{N!} = (\frac{V R_o^6}{\lambda^9})^N \frac{1}{N!} ;]

Calculemos então a energia interna do sistema

[; U = -\frac{\partial}{\partial \beta} \ln{( (\frac{V R_o^6}{\lambda^9})^N \frac{1}{N!})} = -\frac{\partial(N \ln{(V)}  + 6N \ln{(R_o)} – 9N \ln{(\lambda)} – \ln{(N!)})}{\partial \beta} = ;]

[; = \frac{\partial (9 N \ln{\lambda})}{\partial \beta} = \frac{9N}{\lambda} \frac{\partial \lambda}{\partial \beta} = \frac{9N}{\lambda} \frac{h}{\sqrt{2\pi m}} \frac{\partial \sqrt{\beta}}{\partial \beta} = \frac{9N}{\lambda} \frac{h}{\sqrt{2\pi m}} \frac{1}{2\sqrt{\beta}} = ;]

[; = \frac{9N}{\lambda} \frac{\lambda}{\beta} = \frac{9N}{\beta} = 9NkT = U ;]

(b) O calor específico a volume constante é:

[; C_v = \frac{\partial}{\partial T} U = 9Nk ;]

(c) Para calcular a entropia basta lembrar que a energia livre de Helmholtz é dada por:

[; F = -\frac{\ln{Z(T,V,N)}}{\beta} ;]

e saber que [; F = U – TS ;], logo:

[; S = k(9N + \ln{((\frac{V R_o^6}{\lambda^9})^N \frac{1}{N!})} ;]

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Aí complica…

janeiro 18, 2013 10 comentários

fisica_matematica

Anéis

setembro 26, 2012 Comentários desligados

Olá! Aqui estou eu para mais uma série de posts, a saber, sobre os anéis. Os anéis são sistemas bi-operacionais e veremos que são diferentes dos grupos, a começar pela definição. Os anéis vão lhe parecer muito familiar, pois estes derivam-se de um conjunto muito conhecido por todos nós: os inteiros. Bem, vamos começar por uma

Definição. Diz-se que um conjunto não vazio R é um anel associativo se estão definidas duas operações, + e •, de maneira que para todo a, b, c em R são satisfeitas as seguintes condições (axiomas):

(1) a + b [; \in ;] R

(2) a + b = b + a

(3) (a + b) + c = a + (b + c)

(4) Existe um elemento 0 [; \in ;] R tal que a + 0 = a

(5) Existe um elemento – a em R tal que a + (– a) = 0

(6) ab [; \in ;] R

(7) a•(bc) = (ab)•c

(8) a•(b + c) = ab + ac e (b + c)•a = ba + ca

Os cinco primeiros axiomas afirmam que R forma um grupo abeliano com relação à operação +. A associatividade mencionada na definição refere-se a da operação •. Assim, sempre que falarmos de anel, estaremos falando dos associativos (para os quais vale o axioma (7). Ao anel que possui um elemento tal que 1•a = a•1 = a, chama-se anel com elemento de unidade. Ao anel em que vale ab = ba, chama-se anel comutativo. Agora, para enxergarmos um pouco da aplicação dos anéis, vamos ver alguns exemplos.

Exemplo 1. Seja R o conjunto dos inteiros. Então R é um anel comutativo e com elemento de unidade, onde + e • são as soma e multiplicação usuais.

Exemplo 2. Seja R o conjunto dos inteiros pares (+ e • usuais). R é um anel comutativo, mas não tem elemento de unidade.

Exemplo 3. Seja R o conjunto dos inteiros ímpares (+ e • usuais). R não é anel pois não possui elemento de unidade, 0.

Exemplo 4. Seja R o conjunto dos números racionais (+ e • usuais). R é um anel comutativo com elemento de unidade. Note que seus elementos diferentes de 0 formam um grupo também com relação à operação de multiplicação que, diferentemente dos inteiros, possui um inverso para cada elemento (para 2, tem-se 1/2, por exemplo, o que obviamente não pode ocorrer com inteiros).  A um anel com essa propriedade dá-se o nome de corpo.

Exemplo 5. Seja C o conjunto de todos os símbolos (α, β), onde α, β são reais. Vamos agora definir as operações nesse conjunto.

(1) Igualdade. (α, β) = (γ, δ), se, somente se, α = γ e β = δ

(2) Soma. (α, β) + (γ, δ) = (α + γ, β + δ)

Essa soma ainda permanece em C. Nesse caso, (0, 0) é o elemento de unidade e o inverso é (-α, -β), com relação à soma.

(3) Multiplicação. (α, β)•(γ, δ) = (αγ – βδ, αδ + βγ)

Essa multiplicação é comutativa e associativa (verifique). O elemento de unidade é (1, 0). Se (α, β) ≠ (0, 0), então α² + β² ≠ 0 e assim:

[; \ (\alpha, \beta) \cdot \left ( \frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2}  \frac{- \beta}{\alpha^2 + \beta^2} \right ) = (1, 0) ;]

Assim, temos o inverso para um (α, β) qualquer. Assim, como os elementos não nulos de C formam um grupo abeliano com relação à multiplicação, temos que C é um corpo. Note que C é o famoso conjunto dos complexos, onde a primeira coordenada são os reais, e a segunda, os imaginários.

Bem, agora vamos formalizar alguns fatos vistos nos exemplos e introduzir as definições.

Definição. Seja R um anel comutativo. Assim, para a ≠ 0 [; \in ;] R e b ≠ 0 [; \in ;] R, diz-se que R é um divisor do zero quando ab = 0.

Definição. Se um anel comutativo não possui divisores do zero, chama-se esse anel de anel de integridade (por exemplo, os inteiros).

Definição. Ao anel onde seus elementos não nulos formam um grupo com relação à multiplicação dá-se o nome de anel com divisão.

Definição. Se um anel com divisão também é abeliano (comutativo) com relação à multiplicação, então esse anel é chamado corpo.

Agora, vamos a um importante lema que nos capacitará a operar os elementos de um anel sem nos preocupar com certos detalhes, que mostraremos serem equivalentes.

Lema. Seja R um anel. Assim, para todos a, b [; \in ;] R,

(1) a0 = 0a = 0

(2) a(-b) = (-a)b = – (ab)

(3) (-a) (-b) = ab

(4) (-1) a = – a

(5) (-1) (-1) = 1

Demonstração. (1) A demonstração deste primeiro é bem simples. Usando a lei distributiva à direita, temos que para a [; \in ;] R a0 = a(0 + 0) = a0 + a0. Cancelando os termos à esquerda (lei do cancelamento, pois R forma grupo com relação à adição), temos que a0 = 0. Analogamente, pode-se fazer o mesmo à esquerda, ou seja, que 0a = 0 e assim mostramos que a0 = 0a = 0. (2) Para mostrar isso, temos que notar que mostrar que a(-b) = – (ab) é equivalente a mostrar que a(-b) + (ab) = 0. Assim, pela lei distributiva, temos que a(-b) + (ab) = a( (-b) + b) = 0 = a0 = 0. Assim, aplicando essa lei para b, mostramos o que foi pedido. (3) Temos dois modos, equivalentes, de mostrar isso. O primeiro é usando o mesmo método de usamos para mostrar (2) e assim -a ficará como fator comum. O segundo é usar o que demonstramos na parte (2). Assim: (-a) (-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = ab. Isso é intuitivo pelo que foi estudado em grupos, pois o inverso do inverso é o próprio elemento. (4) Aqui usa-se o mesmo método usado em (2), a saber, que (-1) a = – a é equivalente a (-1) a + a = 0 e daí usa-se a lei distributiva. (5) É um caso especial de (3). [; \Box ;]

Agora, demonstrado esse lema, usaremos a – b, ao invés de a + (-b). Agora vamos enunciar um princípio tão lógico e intuitivo que você não precisa de nenhum mestrado, doutorado ou PhD para entender isso! Vamos a ele!

Princípio da Casa do Pombo. Se distribuirmos n objetos em m lugares e n > m, então alguns lugares receberão pelo menos dois objetos.

Em outras palavras, se temos n lugares e n objetos e cada lugar recebeu um objeto, então todos lugares contém exatamente um objeto. Como disse, é muito fácil de entender. Mas quando a coisa fica fácil demais é porque vai complicar muito! Mas acho que esse não é o caso (ufa!). Então vamos vamos ver como usar esse princípio.

Lema. Um anel de integridade finito R é um corpo.

Demonstração. Ou seja, um anel finito e comutativo onde ocorre que ab = 0 implicando em a = 0 ou b = 0 é um corpo, ou seja, que seus elementos formam um grupo abeliano com relação à multiplicação. Assim, já temos que R é fechado e associativo (definição de anel). Assim, só falta mostrar que existe um elemento de unidade e que existe um inverso para cada elemento desse anel. Sejam [; x_1, …, x_n ;] os elementos distintos de D e suponhamos a [; \in ;] D e a ≠ 0. Assim, como D é fechado, [; x_1 a, …, x_n a ;] estão todos em D e são distintos. Se tivéssemos uma igualdade, então [; x_i a = x_j a ;] e assim [; (x_i – x_j)a = 0 ;] e como a ≠ 0, então teríamos que [; x_i = x_j ;], contrariando o fato dos elementos serem distintos. Pelo Princípio da Casa do Pombo, como D possui n elementos, esses elementos devem esgotar D, ou seja, existe um y [; \in ;] D que pode ser escrito como um [; x_i a ;]. E isso também vale para o próprio a, que pertence a D. Assim, [; a = x_{io}a ;], para um [; x_{io} ;] em D. Como D é comutativo, temos que [; a = x_{io}a = ax_{io} ;]. Percebeu? [; x_{io} ;] parece estar funcionando como elemento de unidade, pelo menos para a. Então vamos ver se isso é verdade mesmo para y. Assim, [; yx_{io} = (x_ia)x_{io} = x_i(ax_{io}) = x_ia = y ;]. Assim, [; x_{io} ;] é realmente o elemento de unidade e denotaremos ele por 1 [; \in ;] D. Assim, como todo elemento pode ser escrito da forma acima, como múltiplo de a, então isso vale para o próprio 1 e assim 1 = ba, para b [; \in ;] D. Demonstramos, assim, o lema. [; \Box ;]

Bem, é isso que tenho para falar por esse post. No próximo, analisaremos o homomorfismo, extensão da ideia de grupos e talvez algumas coisas a mais. Enfim, é isso! Gostou? Vote. Dúvidas ou críticas? Comente. Até!

REFERÊNCIA:

Herstein, I. N., Tópicos de Álgebra, Editora Polígono, S. Paulo, 1970

Categorias:Teoria dos Aneis
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